---

Step * 2 1 1 of Lemma fps-geometric-slice


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. ∀m:ℕm
     ∀[n:ℕ+]. ∀[g:PowerSeries(X;r)].
       [(1÷(1-g))]_m = if (m rem n =z 0) then (g)^(m ÷ n) else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r) 
       supposing g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
7. n : ℕ+
8. g : PowerSeries(X;r)
9. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
10. ¬m < n
⊢ (if (m - n rem n =z 0) then (g)^((m - n) ÷ n) else 0 fi *g)
= if (m rem n =z 0) then (g)^(((m - n) ÷ n) + 1) else 0 fi 
∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ xxx(GenConcl ⌜((m - n) ÷ n) = k ∈ ℕ⌝⋅ THEN Auto)xxx }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. ∀m:ℕm
     ∀[n:ℕ+]. ∀[g:PowerSeries(X;r)].
       [(1÷(1-g))]_m = if (m rem n =z 0) then (g)^(m ÷ n) else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r) 
       supposing g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
7. n : ℕ+
8. g : PowerSeries(X;r)
9. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
10. ¬m < n
11. k : ℕ
12. ((m - n) ÷ n) = k ∈ ℕ
⊢ (if (m - n rem n =z 0) then (g)^(k) else 0 fi *g) = if (m rem n =z 0) then (g)^(k + 1) else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  m  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}m:\mBbbN{}m
          \mforall{}[n:\mBbbN{}\msupplus{}].  \mforall{}[g:PowerSeries(X;r)].
              [(1\mdiv{}(1-g))]\_m  =  if  (m  rem  n  =\msubz{}  0)  then  (g)\^{}(m  \mdiv{}  n)  else  0  fi    supposing  g  =  [g]\_n
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  g  :  PowerSeries(X;r)
9.  g  =  [g]\_n
10.  \mneg{}m  <  n
\mvdash{}  (if  (m  -  n  rem  n  =\msubz{}  0)  then  (g)\^{}((m  -  n)  \mdiv{}  n)  else  0  fi  *g)
=  if  (m  rem  n  =\msubz{}  0)  then  (g)\^{}(((m  -  n)  \mdiv{}  n)  +  1)  else  0  fi 


By

---

Latex:
xxx(GenConcl  \mkleeneopen{}((m  -  n)  \mdiv{}  n)  =  k\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)xxx

---

Home Index