---

Step * 1 1 1 of Lemma fps-moebius-eq


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. #(b) < n
10. bag-moebius(eq;b)
= if bag-null(b) then 1 else -Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p)) fi 
∈ ℤ
⊢ ((-r 
    Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))])
     1 * fps-div-coeff(eq;r;λb.if bag-null(b) then 1 else 0 fi ;λb.1;1;snd(p))) 
   +r 
   if bag-null(b) then 1 else 0 fi )
= int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))
∈ |r|
BY
{ TACTIC:(MoveToConcl (-1) THEN (BoolCase ⌜bag-null(b)⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. #(b) < n
10. b = {} ∈ bag(X)
⊢ (bag-moebius(eq;b) = 1 ∈ ℤ)
⇒ (((-r 
      Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))])
       1 * fps-div-coeff(eq;r;λb.if bag-null(b) then 1 else 0 fi ;λb.1;1;snd(p))) 
     +r 
     1)
   = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))
   ∈ |r|)

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. ¬(b = {} ∈ bag(X))
10. #(b) < n
⊢ (bag-moebius(eq;b) = (-Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p))) ∈ ℤ)
⇒ (((-r 
      Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))])
       1 * fps-div-coeff(eq;r;λb.if bag-null(b) then 1 else 0 fi ;λb.1;1;snd(p))) 
     +r 
     0)
   = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))
   ∈ |r|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbZ{}
6.  0  <  n
7.  \mforall{}b:bag(X).  (\#(b)  <  n  -  1  {}\mRightarrow{}  (fps-div-coeff(eq;r;1;\mlambda{}b.1;1;b)  =  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))))
8.  b  :  bag(X)
9.  \#(b)  <  n
10.  bag-moebius(eq;b)
=  if  bag-null(b)
    then  1
    else  -\mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  bag-moebius(eq;snd(p))
    fi 
\mvdash{}  ((-r 
        \mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  1 
                                                                                                            * 
                                                                                                            fps-div-coeff(eq;r;\mlambda{}b.if  bag-null(b)
                                                                                                                                                        then  1
                                                                                                                                                        else  0
                                                                                                                                                        fi  ;\mlambda{}b.1;1;snd(p))) 
      +r 
      if  bag-null(b)  then  1  else  0  fi  )
=  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))


By

---

Latex:
TACTIC:(MoveToConcl  (-1)  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}bag-null(b)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index