---

Step * 1 2 1 1 of Lemma NoBallRetraction-implies-BrouwerFPT


1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
8. ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x)
9. ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)))
⊢ ∃g:B(n) ⟶ B(n)
   ((∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;g x;g y)))
   ∧ (∀x:B(n). (||g x|| = r1))
   ∧ (∀x:B(n). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n;g x;x))))
BY
{ (Assert ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1) BY
         ((D 0 THENA Auto)
          THEN (InstLemma `quadratic-formula1` [⌜x - f x⋅x - f x⌝;⌜r(2) * f x⋅x - f x⌝;⌜f x⋅f x - r1⌝;
                ⌜quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)⌝]⋅
                THENA Auto
                )
          THEN MoveToConcl (-1)
          THEN (GenConcl ⌜quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1) = t ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
          THEN (GenConcl ⌜x - f x = v ∈ ℝ^n⌝⋅ THENA Auto)
          THEN (GenConcl ⌜(f x) = y ∈ B(n)⌝⋅ THENA Auto)
          THEN All Thin
          THEN Auto
          THEN BLemma `real-vec-norm-eq-iff`
          THEN Auto
          THEN (RWO "rnexp-one" 0 THENA Auto)
          THEN (RWW "dot-product-linearity1.1 dot-product-linearity1.2" 0⋅ THENA Auto)
          THEN (RWW "dot-product-linearity2.1 dot-product-linearity2.2" 0⋅ THENA Auto)
          THEN (Assert v⋅y = y⋅v BY
                      Auto)
          THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
          THEN (Assert t^2 = (t * t) BY
                      Auto)
          THEN RWO "-1" (-3)
          THEN Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
8. ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x)
9. ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)))
10. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
⊢ ∃g:B(n) ⟶ B(n)
   ((∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;g x;g y)))
   ∧ (∀x:B(n). (||g x|| = r1))
   ∧ (∀x:B(n). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n;g x;x))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)
3.  \mforall{}x,y:B(n).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x;f  y))
4.  \mforall{}x:B(n).  f  x  \mneq{}  x
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  \mforall{}x:B(n).  (r0  <  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)
7.  \mforall{}x:B(n).  ((f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  \mleq{}  r0)
8.  \mforall{}x:B(n).  (r0  \mleq{}  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)
9.  \mforall{}x:B(n).  \mforall{}b:\mBbbR{}.    (r0  \mleq{}  ((b  *  b)  -  r(4)  *  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x  *  (f  x\mcdot{}f  x  -  r1)))
\mvdash{}  \mexists{}g:B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)
      ((\mforall{}x,y:B(n).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;g  x;g  y)))
      \mwedge{}  (\mforall{}x:B(n).  (||g  x||  =  r1))
      \mwedge{}  (\mforall{}x:B(n).  ((||x||  =  r1)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;g  x;x))))


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}x:B(n)
                    (||f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)*x  -  f  x||  =  r1)  BY
              ((D  0  THENA  Auto)
                THEN  (InstLemma  `quadratic-formula1`  [\mkleeneopen{}x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f  x\mcdot{}f  x  -  r1\mkleeneclose{};
                            \mkleeneopen{}quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                            THENA  Auto
                            )
                THEN  MoveToConcl  (-1)
                THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  =  t\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THENA  Auto
                            )
                THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}x  -  f  x  =  v\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(f  x)  =  y\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  All  Thin
                THEN  Auto
                THEN  BLemma  `real-vec-norm-eq-iff`
                THEN  Auto
                THEN  (RWO  "rnexp-one"  0  THENA  Auto)
                THEN  (RWW  "dot-product-linearity1.1  dot-product-linearity1.2"  0\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (RWW  "dot-product-linearity2.1  dot-product-linearity2.2"  0\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  v\mcdot{}y  =  y\mcdot{}v  BY
                                        Auto)
                THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  t\^{}2  =  (t  *  t)  BY
                                        Auto)
                THEN  RWO  "-1"  (-3)
                THEN  Auto))

---

Home Index