---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma NoBallRetraction-implies-BrouwerFPT


1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
8. ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x)
9. ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)))
10. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
⊢ ∃g:B(n) ⟶ B(n)
   ((∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;g x;g y)))
   ∧ (∀x:B(n). (||g x|| = r1))
   ∧ (∀x:B(n). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n;g x;x))))
BY
{ (Assert ∀x,y:B(n).
            (req-vec(n;x;y)
            ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
               - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y)) BY
         (Intros
          THEN (FHyp 3 [-1] THENA Auto)
          THEN (Assert req-vec(n;x - f x;y - f y) BY
                      EAuto 1)
          THEN (Assert (f x⋅f x - r1) = (f y⋅f y - r1) BY
                      (RWO "-2" 0 THEN Auto))
          THEN (RWO "-1 -2" 0 THENA Auto)
          THEN (RWO "-3" 0 THENA Auto)
          THEN GenConclAtAddr [2]
          THEN EAuto 1)) }

1
1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
8. ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x)
9. ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)))
10. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
11. ∀x,y:B(n).
      (req-vec(n;x;y)
      ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
         - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y))
⊢ ∃g:B(n) ⟶ B(n)
   ((∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;g x;g y)))
   ∧ (∀x:B(n). (||g x|| = r1))
   ∧ (∀x:B(n). ((||x|| = r1) ⇒ req-vec(n;g x;x))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)
3.  \mforall{}x,y:B(n).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x;f  y))
4.  \mforall{}x:B(n).  f  x  \mneq{}  x
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  \mforall{}x:B(n).  (r0  <  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)
7.  \mforall{}x:B(n).  ((f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  \mleq{}  r0)
8.  \mforall{}x:B(n).  (r0  \mleq{}  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)
9.  \mforall{}x:B(n).  \mforall{}b:\mBbbR{}.    (r0  \mleq{}  ((b  *  b)  -  r(4)  *  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x  *  (f  x\mcdot{}f  x  -  r1)))
10.  \mforall{}x:B(n).  (||f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)*x  -  f  x||  =  r1)
\mvdash{}  \mexists{}g:B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)
      ((\mforall{}x,y:B(n).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;g  x;g  y)))
      \mwedge{}  (\mforall{}x:B(n).  (||g  x||  =  r1))
      \mwedge{}  (\mforall{}x:B(n).  ((||x||  =  r1)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;g  x;x))))


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}x,y:B(n).
                    (req-vec(n;x;y)
                    {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x 
                          -  r1)*x  -  f  x;f  y  +  quadratic1(y  -  f  y\mcdot{}y  -  f  y;r(2)  *  f  y\mcdot{}y  -  f  y;f  y\mcdot{}f  y 
                          -  r1)*y  -  f  y))  BY
              (Intros
                THEN  (FHyp  3  [-1]  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  req-vec(n;x  -  f  x;y  -  f  y)  BY
                                        EAuto  1)
                THEN  (Assert  (f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  =  (f  y\mcdot{}f  y  -  r1)  BY
                                        (RWO  "-2"  0  THEN  Auto))
                THEN  (RWO  "-1  -2"  0  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "-3"  0  THENA  Auto)
                THEN  GenConclAtAddr  [2]
                THEN  EAuto  1))

---

Home Index