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Step * 1 2 1 of Lemma real-unit-ball-totally-bounded


1. n : ℕ
2. k : ℕ+
3. ∀p:B(n). ∃q:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (d(p;approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q)) ≤ (r1/r(k)))
4. L : unit-ball-approx(n;k * 8 * n) List
5. no_repeats(unit-ball-approx(n;k * 8 * n);L)
6. ∀x:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (x ∈ L)
7. p : B(n)
8. q : unit-ball-approx(n;k * 8 * n)
9. d(p;approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q)) ≤ (r1/r(k))
10. (q ∈ L)
⊢ ∃i:ℕ||map(λq.approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q);L)||. (d(p;map(λq.approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q);L)[i]) ≤ (r1/r(k)))
BY
{ (RepeatFor 2 (D -1)
   THEN (RWO "length-map" 0 THENA Auto)
   THEN D 0 With ⌜i⌝ 
   THEN Try (((RWO "select-map" 0 THENA Auto)
              THEN Reduce 0
              THEN (CaseNat 0 `n'
                    THENL [(RepUR ``real-vec-dist real-vec-norm dot-product`` 0
                            THEN RWO "rsum-empty" 0
                            THEN Auto
                            THEN RWO "rsqrt0" 0
                            THEN Auto)
                          ; Auto]
              )))) }

1
.....wf..... 
1. n : ℕ
2. k : ℕ+
3. ∀p:B(n). ∃q:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (d(p;approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q)) ≤ (r1/r(k)))
4. L : unit-ball-approx(n;k * 8 * n) List
5. no_repeats(unit-ball-approx(n;k * 8 * n);L)
6. ∀x:unit-ball-approx(n;k * 8 * n). (x ∈ L)
7. p : B(n)
8. q : unit-ball-approx(n;k * 8 * n)
9. d(p;approx-ball-to-ball(k * 8 * n;q)) ≤ (r1/r(k))
10. i : ℕ
11. i < ||L||
12. q = L[i] ∈ unit-ball-approx(n;k * 8 * n)
⊢ i ∈ ℕ||L||

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Latex:

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Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  \mforall{}p:B(n).  \mexists{}q:unit-ball-approx(n;k  *  8  *  n).  (d(p;approx-ball-to-ball(k  *  8  *  n;q))  \mleq{}  (r1/r(k)))
4.  L  :  unit-ball-approx(n;k  *  8  *  n)  List
5.  no\_repeats(unit-ball-approx(n;k  *  8  *  n);L)
6.  \mforall{}x:unit-ball-approx(n;k  *  8  *  n).  (x  \mmember{}  L)
7.  p  :  B(n)
8.  q  :  unit-ball-approx(n;k  *  8  *  n)
9.  d(p;approx-ball-to-ball(k  *  8  *  n;q))  \mleq{}  (r1/r(k))
10.  (q  \mmember{}  L)
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbN{}||map(\mlambda{}q.approx-ball-to-ball(k  *  8  *  n;q);L)||
      (d(p;map(\mlambda{}q.approx-ball-to-ball(k  *  8  *  n;q);L)[i])  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

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Latex:
(RepeatFor  2  (D  -1)
  THEN  (RWO  "length-map"  0  THENA  Auto)
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}i\mkleeneclose{} 
  THEN  Try  (((RWO  "select-map"  0  THENA  Auto)
                        THEN  Reduce  0
                        THEN  (CaseNat  0  `n'
                                    THENL  [(RepUR  ``real-vec-dist  real-vec-norm  dot-product``  0
                                                    THEN  RWO  "rsum-empty"  0
                                                    THEN  Auto
                                                    THEN  RWO  "rsqrt0"  0
                                                    THEN  Auto)
                                                ;  Auto]
                        ))))

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