---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma Taylor-series-bounded-converges-everywhere

.....assertion..... 
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
⊢ ∃M:ℕ+. ∀k:{M...}. (|(r^k/r((k)!))| ≤ (r1/|c| * r(j)))
BY
{ ((Assert (r0 < |c|) ∧ (r0 < r(j)) BY
          (Auto THEN (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto) THEN DVar `c' THEN Unhide THEN Auto))
   THEN (Assert r0 < (|c| * r(j)) BY
               EAuto 1)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConclTerm ⌜|c| * r(j)⌝⋅
   THEN Auto) }

1
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
11. r0 < |c|
12. r0 < r(j)
13. v : ℝ
14. (|c| * r(j)) = v ∈ ℝ
15. r0 < v
⊢ ∃M:ℕ+. ∀k:{M...}. (|(r^k/r((k)!))| ≤ (r1/v))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
3.  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
4.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact([r(-m),  r(m)])\} 
6.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  <  c
10.  \mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|F[k;x]|  \mleq{}  c)
\mvdash{}  \mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}k:\{M...\}.  (|(r\^{}k/r((k)!))|  \mleq{}  (r1/|c|  *  r(j)))


By

---

Latex:
((Assert  (r0  <  |c|)  \mwedge{}  (r0  <  r(j))  BY
                (Auto  THEN  (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto)  THEN  DVar  `c'  THEN  Unhide  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  r0  <  (|c|  *  r(j))  BY
                          EAuto  1)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerm  \mkleeneopen{}|c|  *  r(j)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index