---

Step * 1 2 2 1 1 of Lemma converges-implies-bounded


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))})
4. N : ℤ
5. 0 < N
6. bounded-sequence(n.x[n + (N - 1)]) ⇒ bounded-sequence(n.x[n])
7. b : ℝ
8. ∀n:ℕ. (|x[n + N]| ≤ b)
9. n : ℕ
10. n = 0 ∈ ℤ
⊢ |x[0 + (N - 1)]| ≤ rmax(b;|x[N - 1]|)
BY
{ Subst' 0 + (N - 1) ~ N - 1 0 }

1
.....equality..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))})
4. N : ℤ
5. 0 < N
6. bounded-sequence(n.x[n + (N - 1)]) ⇒ bounded-sequence(n.x[n])
7. b : ℝ
8. ∀n:ℕ. (|x[n + N]| ≤ b)
9. n : ℕ
10. n = 0 ∈ ℤ
⊢ 0 + (N - 1) ~ N - 1

2
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℝ
3. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y| ≤ (r1/r(k)))))})
4. N : ℤ
5. 0 < N
6. bounded-sequence(n.x[n + (N - 1)]) ⇒ bounded-sequence(n.x[n])
7. b : ℝ
8. ∀n:ℕ. (|x[n + N]| ≤ b)
9. n : ℕ
10. n = 0 ∈ ℤ
⊢ |x[N - 1]| ≤ rmax(b;|x[N - 1]|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
4.  N  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  N
6.  bounded-sequence(n.x[n  +  (N  -  1)])  {}\mRightarrow{}  bounded-sequence(n.x[n])
7.  b  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[n  +  N]|  \mleq{}  b)
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  n  =  0
\mvdash{}  |x[0  +  (N  -  1)]|  \mleq{}  rmax(b;|x[N  -  1]|)


By

---

Latex:
Subst'  0  +  (N  -  1)  \msim{}  N  -  1  0

---

Home Index