---

Step * 2 1 1 1 1 2 of Lemma m-closed-iff-complete


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. [A] : Type
5. metric-subspace(X;d;A)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n) ⇒ (λn.(c (n + 1))) n↓ as n→∞
13. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n)
⊢ x ∈ A
BY
{ (ThinTrivial THEN D -1 THEN D 5 THEN (D 6 With ⌜y⌝  THENA Auto) THEN BHyp -1 THEN Auto) }

1
1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. mcomplete(X with d)
4. [A] : Type
5. strong-subtype(A;X)
6. d ∈ metric(A)
7. x : X
8. ∀k:ℕ+. ∃a:A. (mdist(d;x;a) ≤ (r1/r(k)))
9. ∀a:A. (mdist(d;x;a) ∈ ℝ)
10. c : k:ℕ+ ⟶ A
11. ∀k:ℕ+. (mdist(d;x;c k) ≤ (r1/r(k)))
12. mcauchy(d;n.(λn.(c (n + 1))) n)
13. y : A
14. lim n→∞.(λn.(c (n + 1))) n = y
15. ∀x:X. (x ≡ y ⇒ (x ∈ A))
⊢ x ≡ y

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  mcomplete(X  with  d)
4.  [A]  :  Type
5.  metric-subspace(X;d;A)
6.  d  \mmember{}  metric(A)
7.  x  :  X
8.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mleq{}  (r1/r(k)))
9.  \mforall{}a:A.  (mdist(d;x;a)  \mmember{}  \mBbbR{})
10.  c  :  k:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  A
11.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (mdist(d;x;c  k)  \mleq{}  (r1/r(k)))
12.  mcauchy(d;n.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n)  {}\mRightarrow{}  (\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n\mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{}
13.  mcauchy(d;n.(\mlambda{}n.(c  (n  +  1)))  n)
\mvdash{}  x  \mmember{}  A


By

---

Latex:
(ThinTrivial  THEN  D  -1  THEN  D  5  THEN  (D  6  With  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  BHyp  -1  THEN  Auto)

---

Home Index