---

Step * 1 2 1 1 2 1 1 of Lemma metric-weak-Markov


1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. ∀x:ℕ ⟶ X. (mcauchy(d;n.x n) ⇒ x n↓ as n→∞)
4. x : X
5. y : X
6. ∀z:X. ((¬z ≡ x) ∨ (¬z ≡ y))
7. r : ℝ
8. ∀n:ℕ+. ((mdist(d;x;y) < (r1/r(n))) ∨ (r < mdist(d;x;y)) ∨ (r0 < r))
9. a : ℕ+ ⟶ ℕ3
10. ∀n:ℕ+
      (((((a n) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (mdist(d;x;y) < (r1/r(n))))
       ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ (r < mdist(d;x;y)))
       ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ (r0 < r)))
      ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 1 ∈ ℤ))
      ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 2 ∈ ℤ)))
⊢ (¬(r = mdist(d;x;y))) ∨ (¬(r = r0))
BY
{ ((D 3 With ⌜λn.if (a (n + 1) =z 1) then y else x fi ⌝  THENA Auto) THEN D -1) }

1
.....antecedent..... 
1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. x : X
4. y : X
5. ∀z:X. ((¬z ≡ x) ∨ (¬z ≡ y))
6. r : ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((mdist(d;x;y) < (r1/r(n))) ∨ (r < mdist(d;x;y)) ∨ (r0 < r))
8. a : ℕ+ ⟶ ℕ3
9. ∀n:ℕ+
     (((((a n) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (mdist(d;x;y) < (r1/r(n))))
      ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ (r < mdist(d;x;y)))
      ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ (r0 < r)))
     ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 1 ∈ ℤ))
     ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 2 ∈ ℤ)))
⊢ mcauchy(d;n.(λn.if (a (n + 1) =z 1) then y else x fi ) n)

2
1. [X] : Type
2. d : metric(X)
3. x : X
4. y : X
5. ∀z:X. ((¬z ≡ x) ∨ (¬z ≡ y))
6. r : ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((mdist(d;x;y) < (r1/r(n))) ∨ (r < mdist(d;x;y)) ∨ (r0 < r))
8. a : ℕ+ ⟶ ℕ3
9. ∀n:ℕ+
     (((((a n) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (mdist(d;x;y) < (r1/r(n))))
      ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ (r < mdist(d;x;y)))
      ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ (r0 < r)))
     ∧ (((a n) = 1 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 1 ∈ ℤ))
     ∧ (((a n) = 2 ∈ ℤ) ⇒ ((a (n + 1)) = 2 ∈ ℤ)))
10. (λn.if (a (n + 1) =z 1) then y else x fi ) n↓ as n→∞
⊢ (¬(r = mdist(d;x;y))) ∨ (¬(r = r0))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [X]  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  \mforall{}x:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  X.  (mcauchy(d;n.x  n)  {}\mRightarrow{}  x  n\mdownarrow{}  as  n\mrightarrow{}\minfty{})
4.  x  :  X
5.  y  :  X
6.  \mforall{}z:X.  ((\mneg{}z  \mequiv{}  x)  \mvee{}  (\mneg{}z  \mequiv{}  y))
7.  r  :  \mBbbR{}
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((mdist(d;x;y)  <  (r1/r(n)))  \mvee{}  (r  <  mdist(d;x;y))  \mvee{}  (r0  <  r))
9.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}3
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
            (((((a  n)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;x;y)  <  (r1/r(n))))
              \mwedge{}  (((a  n)  =  1)  {}\mRightarrow{}  (r  <  mdist(d;x;y)))
              \mwedge{}  (((a  n)  =  2)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  r)))
            \mwedge{}  (((a  n)  =  1)  {}\mRightarrow{}  ((a  (n  +  1))  =  1))
            \mwedge{}  (((a  n)  =  2)  {}\mRightarrow{}  ((a  (n  +  1))  =  2)))
\mvdash{}  (\mneg{}(r  =  mdist(d;x;y)))  \mvee{}  (\mneg{}(r  =  r0))


By

---

Latex:
((D  3  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}n.if  (a  (n  +  1)  =\msubz{}  1)  then  y  else  x  fi  \mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  D  -1)

---

Home Index