---

Step * 1 1 1 1 1 2 2 of Lemma rational-IVT


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
6. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
7. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
8. n : ℕ+
9. above a within 1/n ≤ (below b within 1/n)
10. (g[above a within 1/n] * g[(below b within 1/n)]) < r0
⊢ fst(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>])) < 0
BY
{ ((RWO "ratreal-negative<" 0 THENA Auto) THEN ExRepD THEN (RW ratreal_pushdownC 0 THENA Auto)) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
4. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
5. a < b
6. (g[a] * g[b]) < r0
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
8. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
9. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
10. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
11. n : ℕ+
12. above a within 1/n ≤ (below b within 1/n)
13. (g[above a within 1/n] * g[(below b within 1/n)]) < r0
⊢ (ratreal(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>]) * ratreal(f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>])) < r0

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
4.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  (a  <  b)
\mwedge{}  ((g[a]  *  g[b])  <  r0)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y])))
\mwedge{}  (\mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r]))))
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)  =  above  a  within  1/n)
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>)  =  (below  b  within  1/n))
8.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  above  a  within  1/n  \mleq{}  (below  b  within  1/n)
10.  (g[above  a  within  1/n]  *  g[(below  b  within  1/n)])  <  r0
\mvdash{}  fst(ratmul(f[<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>];f[<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>]))  <  0


By

---

Latex:
((RWO  "ratreal-negative<"  0  THENA  Auto)  THEN  ExRepD  THEN  (RW  ratreal\_pushdownC  0  THENA  Auto))

---

Home Index