---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma rational-IVT


1. n : ℕ+
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
5. [g] : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
6. [%] : (a < b)
∧ ((g[a] * g[b]) < r0)
∧ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y])))
∧ (∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r]))))
7. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
8. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
9. ratreal(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>])) < r0
10. ((a (2 * n)) + 4) ≤ (b (2 * n))
⊢ ∃ra,rb:ℤ × ℕ+
   ((a ≤ ratreal(ra)) ∧ (ratreal(ra) ≤ ratreal(rb)) ∧ (ratreal(rb) ≤ b) ∧ (ratreal(ratmul(f[ra];f[rb])) < r0))
BY
{ ((Evaluate ⌜M = (4 * n) ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Evaluate ⌜a' = ((a (2 * n)) + 2) ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Evaluate ⌜b' = ((b (2 * n)) - 2) ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (InstConcl [⌜<a', M>⌝;⌜<b', M>⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 3 ((HypSubst' (-1) 0 THEN RepeatFor 2 (Thin (-1))))
   THEN Auto
   THEN Try ((RWO  "8 7" 0 THEN Complete (Auto)))
   THEN RWO "ratreal-req" 0
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ+
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
5. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
6. a < b
7. (g[a] * g[b]) < r0
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
9. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
10. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
11. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
12. ratreal(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>])) < r0
13. ((a (2 * n)) + 4) ≤ (b (2 * n))
14. a ≤ ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>)
⊢ (r((a (2 * n)) + 2)/r(4 * n)) ≤ (r((b (2 * n)) - 2)/r(4 * n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  b  :  \mBbbR{}
4.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
5.  [g]  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  [\%]  :  (a  <  b)
\mwedge{}  ((g[a]  *  g[b])  <  r0)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y])))
\mwedge{}  (\mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r]))))
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)  =  above  a  within  1/n)
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>)  =  (below  b  within  1/n))
9.  ratreal(ratmul(f[<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>];f[<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>]))  <  r0
10.  ((a  (2  *  n))  +  4)  \mleq{}  (b  (2  *  n))
\mvdash{}  \mexists{}ra,rb:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}
      ((a  \mleq{}  ratreal(ra))
      \mwedge{}  (ratreal(ra)  \mleq{}  ratreal(rb))
      \mwedge{}  (ratreal(rb)  \mleq{}  b)
      \mwedge{}  (ratreal(ratmul(f[ra];f[rb]))  <  r0))


By

---

Latex:
((Evaluate  \mkleeneopen{}M  =  (4  *  n)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}a'  =  ((a  (2  *  n))  +  2)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}b'  =  ((b  (2  *  n))  -  2)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}<a',  M>\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}<b',  M>\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  3  ((HypSubst'  (-1)  0  THEN  RepeatFor  2  (Thin  (-1))))
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((RWO    "8  7"  0  THEN  Complete  (Auto)))
  THEN  RWO  "ratreal-req"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index