---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma rational-IVT


1. n : ℕ+
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
5. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
6. a < b
7. (g[a] * g[b]) < r0
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
9. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
10. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
11. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
12. ratreal(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>])) < r0
13. ((a (2 * n)) + 4) ≤ (b (2 * n))
14. a ≤ ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>)
⊢ (r((a (2 * n)) + 2)/r(4 * n)) ≤ (r((b (2 * n)) - 2)/r(4 * n))
BY
{ (BLemma `rleq-int-fractions` THEN Auto) }

1
1. n : ℕ+
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. f : (ℤ × ℕ+) ⟶ (ℤ × ℕ+)
5. g : {x:ℝ| x ∈ [a, b]}  ⟶ ℝ
6. a < b
7. (g[a] * g[b]) < r0
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (g[x] = g[y]))
9. ∀r:ℤ × ℕ+. ((ratreal(r) ∈ [a, b]) ⇒ (g[ratreal(r)] = ratreal(f[r])))
10. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>) = above a within 1/n)
11. ∀n:ℕ+. (ratreal(<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>) = (below b within 1/n))
12. ratreal(ratmul(f[<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>];f[<(b (2 * n)) - 2, 4 * n>])) < r0
13. ((a (2 * n)) + 4) ≤ (b (2 * n))
14. a ≤ ratreal(<(a (2 * n)) + 2, 4 * n>)
⊢ (((a (2 * n)) + 2) * 4 * n) ≤ (((b (2 * n)) - 2) * 4 * n)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  b  :  \mBbbR{}
4.  f  :  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{})
5.  g  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  a  <  b
7.  (g[a]  *  g[b])  <  r0
8.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g[x]  =  g[y]))
9.  \mforall{}r:\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbN{}\msupplus{}.  ((ratreal(r)  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (g[ratreal(r)]  =  ratreal(f[r])))
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)  =  above  a  within  1/n)
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (ratreal(<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>)  =  (below  b  within  1/n))
12.  ratreal(ratmul(f[<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>];f[<(b  (2  *  n))  -  2,  4  *  n>]))  <  r0
13.  ((a  (2  *  n))  +  4)  \mleq{}  (b  (2  *  n))
14.  a  \mleq{}  ratreal(<(a  (2  *  n))  +  2,  4  *  n>)
\mvdash{}  (r((a  (2  *  n))  +  2)/r(4  *  n))  \mleq{}  (r((b  (2  *  n))  -  2)/r(4  *  n))


By

---

Latex:
(BLemma  `rleq-int-fractions`  THEN  Auto)

---

Home Index