---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma rmul-limit


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|x[n] - a| ≤ (r1/r(k))}
6. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|y[n] - b| ≤ (r1/r(k))}
7. m : ℕ+
8. |b| ≤ r(m)
9. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ r(m))
10. k : ℕ+
11. |x[2 * m * k]| ≤ r(m)
12. ∀large(n).{|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k))}
13. ∀large(n).{|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))}
14. N : ℕ
15. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ ((|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))) ∧ (|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k)))))
16. n : ℕ
17. N ≤ n
18. |x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))
19. |y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k))
⊢ |(x[n] * y[n]) - a * b| ≤ (r1/r(k))
BY
{ Assert ⌜|(x[n] * y[n]) - a * b| ≤ (|x[n] * (y[n] - b)| + |(x[n] - a) * b|)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|x[n] - a| ≤ (r1/r(k))}
6. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|y[n] - b| ≤ (r1/r(k))}
7. m : ℕ+
8. |b| ≤ r(m)
9. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ r(m))
10. k : ℕ+
11. |x[2 * m * k]| ≤ r(m)
12. ∀large(n).{|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k))}
13. ∀large(n).{|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))}
14. N : ℕ
15. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ ((|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))) ∧ (|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k)))))
16. n : ℕ
17. N ≤ n
18. |x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))
19. |y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k))
⊢ |(x[n] * y[n]) - a * b| ≤ (|x[n] * (y[n] - b)| + |(x[n] - a) * b|)

2
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|x[n] - a| ≤ (r1/r(k))}
6. ∀k:ℕ+. ∀large(n).{|y[n] - b| ≤ (r1/r(k))}
7. m : ℕ+
8. |b| ≤ r(m)
9. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ r(m))
10. k : ℕ+
11. |x[2 * m * k]| ≤ r(m)
12. ∀large(n).{|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k))}
13. ∀large(n).{|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))}
14. N : ℕ
15. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ ((|x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))) ∧ (|y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k)))))
16. n : ℕ
17. N ≤ n
18. |x[n] - a| ≤ (r1/r(2 * m * k))
19. |y[n] - b| ≤ (r1/r(2 * m * k))
20. |(x[n] * y[n]) - a * b| ≤ (|x[n] * (y[n] - b)| + |(x[n] - a) * b|)
⊢ |(x[n] * y[n]) - a * b| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  b  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}large(n).\{|x[n]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k))\}
6.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}large(n).\{|y[n]  -  b|  \mleq{}  (r1/r(k))\}
7.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  |b|  \mleq{}  r(m)
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[n]|  \mleq{}  r(m))
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  |x[2  *  m  *  k]|  \mleq{}  r(m)
12.  \mforall{}large(n).\{|y[n]  -  b|  \mleq{}  (r1/r(2  *  m  *  k))\}
13.  \mforall{}large(n).\{|x[n]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(2  *  m  *  k))\}
14.  N  :  \mBbbN{}
15.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  ((|x[n]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(2  *  m  *  k)))  \mwedge{}  (|y[n]  -  b|  \mleq{}  (r1/r(2  *  m  *  k)))))
16.  n  :  \mBbbN{}
17.  N  \mleq{}  n
18.  |x[n]  -  a|  \mleq{}  (r1/r(2  *  m  *  k))
19.  |y[n]  -  b|  \mleq{}  (r1/r(2  *  m  *  k))
\mvdash{}  |(x[n]  *  y[n])  -  a  *  b|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}|(x[n]  *  y[n])  -  a  *  b|  \mleq{}  (|x[n]  *  (y[n]  -  b)|  +  |(x[n]  -  a)  *  b|)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index