---

Step * 1 1 1 2 2 1 1 of Lemma rpositive-rmul


1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. n1 : ℕ+
4. ∀m:ℕ+. ((n1 ≤ m) ⇒ (m ≤ (n1 * (x m))))
5. n : ℕ+
6. ∀m:ℕ+. ((n ≤ m) ⇒ (m ≤ (n * (y m))))
7. B : ℕ+
8. (2 * n) ≤ B
9. (2 * n1) ≤ B
10. m : ℕ+
11. (B * B) ≤ m
12. (B * 1) ≤ (B * B)
13. (2 * m) ≤ (B * (x m))
14. (2 * m) ≤ (B * (y m))
15. r : {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
16. ((x m) * (y m) rem 2 * m) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
17. (4 * m * m) ≤ ((B * B) * (x m) * (y m))
⊢ ((2 * m) * m) ≤ (((B * B) * (x m) * (y m)) - (B * B) * r)
BY
{ Assert ⌜((B * B) * r) ≤ (2 * m * m)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. n1 : ℕ+
4. ∀m:ℕ+. ((n1 ≤ m) ⇒ (m ≤ (n1 * (x m))))
5. n : ℕ+
6. ∀m:ℕ+. ((n ≤ m) ⇒ (m ≤ (n * (y m))))
7. B : ℕ+
8. (2 * n) ≤ B
9. (2 * n1) ≤ B
10. m : ℕ+
11. (B * B) ≤ m
12. (B * 1) ≤ (B * B)
13. (2 * m) ≤ (B * (x m))
14. (2 * m) ≤ (B * (y m))
15. r : {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
16. ((x m) * (y m) rem 2 * m) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
17. (4 * m * m) ≤ ((B * B) * (x m) * (y m))
⊢ ((B * B) * r) ≤ (2 * m * m)

2
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. n1 : ℕ+
4. ∀m:ℕ+. ((n1 ≤ m) ⇒ (m ≤ (n1 * (x m))))
5. n : ℕ+
6. ∀m:ℕ+. ((n ≤ m) ⇒ (m ≤ (n * (y m))))
7. B : ℕ+
8. (2 * n) ≤ B
9. (2 * n1) ≤ B
10. m : ℕ+
11. (B * B) ≤ m
12. (B * 1) ≤ (B * B)
13. (2 * m) ≤ (B * (x m))
14. (2 * m) ≤ (B * (y m))
15. r : {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
16. ((x m) * (y m) rem 2 * m) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
17. (4 * m * m) ≤ ((B * B) * (x m) * (y m))
18. ((B * B) * r) ≤ (2 * m * m)
⊢ ((2 * m) * m) ≤ (((B * B) * (x m) * (y m)) - (B * B) * r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  n1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((n1  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (m  \mleq{}  (n1  *  (x  m))))
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (m  \mleq{}  (n  *  (y  m))))
7.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (2  *  n)  \mleq{}  B
9.  (2  *  n1)  \mleq{}  B
10.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  (B  *  B)  \mleq{}  m
12.  (B  *  1)  \mleq{}  (B  *  B)
13.  (2  *  m)  \mleq{}  (B  *  (x  m))
14.  (2  *  m)  \mleq{}  (B  *  (y  m))
15.  r  :  \{r:\mBbbZ{}|  |r|  <  |2  *  m|\} 
16.  ((x  m)  *  (y  m)  rem  2  *  m)  =  r
17.  (4  *  m  *  m)  \mleq{}  ((B  *  B)  *  (x  m)  *  (y  m))
\mvdash{}  ((2  *  m)  *  m)  \mleq{}  (((B  *  B)  *  (x  m)  *  (y  m))  -  (B  *  B)  *  r)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}((B  *  B)  *  r)  \mleq{}  (2  *  m  *  m)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index