---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma rv-inner-Pasch3


1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. p : ℝ^n
6. q : ℝ^n
7. a ≠ p
8. b ≠ c
9. (¬b ≠ c) ⇒ (¬q ≠ c)
10. ¬(p ≠ c ∧ (¬a-p-c))
11. a ≠ c
12. s : ℝ
13. r0 ≤ s
14. s ≤ r1
15. req-vec(n;p;s*a + r1 - s*c)
16. t : ℝ
17. r0 ≤ t
18. t ≤ r1
19. req-vec(n;q;t*b + r1 - t*c)
20. s < r1
21. r0 < (r1 - s * t)
22. (t - s * t/r1 - s * t) ∈ [r0, r1]
23. (s - s * t/r1 - s * t) ∈ [r0, r1)
⊢ ∃x:ℝ^n
   (rv-T(n;a;x;q)
   ∧ rv-T(n;b;x;p)
   ∧ (a ≠ q ⇒ x ≠ a)
   ∧ ((a ≠ q ∧ p ≠ c ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ q)
   ∧ ((b ≠ p ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ b)
   ∧ ((b ≠ p ∧ q ≠ c) ⇒ x ≠ p))
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌜(t - s * t/r1 - s * t) = u ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(s - s * t/r1 - s * t) = v ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ((r1 - u) * s) = v BY
               ((RWO "-1< -3<" 0 THENA Auto)
                THEN MoveToConcl (-6)
                THEN (GenConclTerm ⌜r1 - s * t⌝⋅ THENA Auto)
                THEN Auto
                THEN nRMul ⌜v1⌝ 0⋅
                THEN (RWO "-2<" 0 THENA Auto)
                THEN nRNorm 0
                THEN Auto))
   THEN (Assert ((r1 - v) * t) = u BY
               ((RWO "-2< -4<" 0 THENA Auto)
                THEN MoveToConcl (-6)
                THEN (GenConclTerm ⌜r1 - s * t⌝⋅ THENA Auto)
                THEN Auto
                THEN nRMul ⌜v1⌝ 0⋅
                THEN (RWO "-2<" 0 THENA Auto)
                THEN nRNorm 0
                THEN Auto))) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. c : ℝ^n
5. p : ℝ^n
6. q : ℝ^n
7. a ≠ p
8. b ≠ c
9. (¬b ≠ c) ⇒ (¬q ≠ c)
10. ¬(p ≠ c ∧ (¬a-p-c))
11. a ≠ c
12. s : ℝ
13. r0 ≤ s
14. s ≤ r1
15. req-vec(n;p;s*a + r1 - s*c)
16. t : ℝ
17. r0 ≤ t
18. t ≤ r1
19. req-vec(n;q;t*b + r1 - t*c)
20. s < r1
21. r0 < (r1 - s * t)
22. u : ℝ
23. (t - s * t/r1 - s * t) = u ∈ ℝ
24. v : ℝ
25. (s - s * t/r1 - s * t) = v ∈ ℝ
26. ((r1 - u) * s) = v
27. ((r1 - v) * t) = u
⊢ (u ∈ [r0, r1])
⇒ (v ∈ [r0, r1))
⇒ (∃x:ℝ^n
     (rv-T(n;a;x;q)
     ∧ rv-T(n;b;x;p)
     ∧ (a ≠ q ⇒ x ≠ a)
     ∧ ((a ≠ q ∧ p ≠ c ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ q)
     ∧ ((b ≠ p ∧ b ≠ q) ⇒ x ≠ b)
     ∧ ((b ≠ p ∧ q ≠ c) ⇒ x ≠ p)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  c  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
7.  a  \mneq{}  p
8.  b  \mneq{}  c
9.  (\mneg{}b  \mneq{}  c)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}q  \mneq{}  c)
10.  \mneg{}(p  \mneq{}  c  \mwedge{}  (\mneg{}a-p-c))
11.  a  \mneq{}  c
12.  s  :  \mBbbR{}
13.  r0  \mleq{}  s
14.  s  \mleq{}  r1
15.  req-vec(n;p;s*a  +  r1  -  s*c)
16.  t  :  \mBbbR{}
17.  r0  \mleq{}  t
18.  t  \mleq{}  r1
19.  req-vec(n;q;t*b  +  r1  -  t*c)
20.  s  <  r1
21.  r0  <  (r1  -  s  *  t)
22.  (t  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  \mmember{}  [r0,  r1]
23.  (s  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  \mmember{}  [r0,  r1)
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}\^{}n
      (rv-T(n;a;x;q)
      \mwedge{}  rv-T(n;b;x;p)
      \mwedge{}  (a  \mneq{}  q  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  a)
      \mwedge{}  ((a  \mneq{}  q  \mwedge{}  p  \mneq{}  c  \mwedge{}  b  \mneq{}  q)  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  q)
      \mwedge{}  ((b  \mneq{}  p  \mwedge{}  b  \mneq{}  q)  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  b)
      \mwedge{}  ((b  \mneq{}  p  \mwedge{}  q  \mneq{}  c)  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  p))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(t  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  =  u\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(s  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  =  v\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ((r1  -  u)  *  s)  =  v  BY
                          ((RWO  "-1<  -3<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  MoveToConcl  (-6)
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}r1  -  s  *  t\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Auto
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  (RWO  "-2<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRNorm  0
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  ((r1  -  v)  *  t)  =  u  BY
                          ((RWO  "-2<  -4<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  MoveToConcl  (-6)
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}r1  -  s  *  t\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Auto
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  (RWO  "-2<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRNorm  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index