---

Step * 2 2 1 2 1 1 of Lemma rv-line-circle-lemma

.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. ||p|| ≤ r
5. v : ℝ^n
6. r0 ≤ (p⋅v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
7. r0 < ||v||
8. r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
9. r0 < ||v||^2
⊢ ∀t:ℝ. (||p + t*v|| = r ⇐⇒ ((v⋅v * t^2) + ((r(2) * p⋅v) * t) + (||p||^2 - r^2)) = r0)
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "real-vec-norm-eq-iff" 0 THENA Auto)
   THEN (RWW "dot-product-linearity1.1 dot-product-linearity1.2
         dot-product-linearity2.1 dot-product-linearity2.2" 0⋅
         THENA Auto
         )
   THEN (Assert v⋅p = p⋅v BY
               Auto)
   THEN RWO "-1 real-vec-norm-squared rnexp2" 0
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. r : ℝ
3. p : ℝ^n
4. ||p|| ≤ r
5. v : ℝ^n
6. r0 ≤ (p⋅v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
7. r0 < ||v||
8. r0 ≤ (((r(2) * p⋅v) * r(2) * p⋅v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
9. r0 < ||v||^2
10. t : ℝ
11. v⋅p = p⋅v
12. ((v⋅v * t * t) + ((r(2) * p⋅v) * t) + (p⋅p - r * r)) = r0
⊢ r0 ≤ r

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  n  :  \mBbbN{}
2.  r  :  \mBbbR{}
3.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  ||p||  \mleq{}  r
5.  v  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  r0  \mleq{}  (p\mcdot{}v\^{}2  -  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))
7.  r0  <  ||v||
8.  r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p\mcdot{}v)  *  r(2)  *  p\mcdot{}v)  -  r(4)  *  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))
9.  r0  <  ||v||\^{}2
\mvdash{}  \mforall{}t:\mBbbR{}.  (||p  +  t*v||  =  r  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ((v\mcdot{}v  *  t\^{}2)  +  ((r(2)  *  p\mcdot{}v)  *  t)  +  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))  =  r0)


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "real-vec-norm-eq-iff"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWW  "dot-product-linearity1.1  dot-product-linearity1.2
              dot-product-linearity2.1  dot-product-linearity2.2"  0\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  (Assert  v\mcdot{}p  =  p\mcdot{}v  BY
                          Auto)
  THEN  RWO  "-1  real-vec-norm-squared  rnexp2"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index