---

Step * 2 1 1 of Lemma arctan-poly-approx


1. x : ℝ
2. k : ℕ
3. ¬(r0 < x)
4. x < r0
5. |arctangent(-(x)) - arctan-poly(-(x);k)| ≤ (-(x)^(2 * k) + 3/r((2 * k) + 3))
⊢ |arctangent(x) - arctan-poly(x;k)| ≤ (|x|^(2 * k) + 3/r((2 * k) + 3))
BY
{ (Assert arctan-poly(-(x);k) = -(arctan-poly(x;k)) BY
         (Unfold `arctan-poly` 0
          THEN RWO "rsum-rminus<" 0
          THEN Auto
          THEN (BLemma `rsum_functionality` THEN Auto)
          THEN (D 0 THEN Auto)
          THEN AutoSplit
          THEN (RWO "int-rdiv-req" 0 THEN Auto)
          THEN nRMul ⌜r((2 * i) + 1)⌝ 0⋅
          THEN Auto)) }

1
1. x : ℝ
2. k : ℕ
3. ¬(r0 < x)
4. x < r0
5. |arctangent(-(x)) - arctan-poly(-(x);k)| ≤ (-(x)^(2 * k) + 3/r((2 * k) + 3))
6. i : ℤ
7. 0 ≤ i
8. i ≤ k
9. (i rem 2) = 0 ∈ ℤ
⊢ -(x)^(2 * i) + 1 = -(x^(2 * i) + 1)

2
1. x : ℝ
2. k : ℕ
3. ¬(r0 < x)
4. x < r0
5. |arctangent(-(x)) - arctan-poly(-(x);k)| ≤ (-(x)^(2 * k) + 3/r((2 * k) + 3))
6. i : ℤ
7. i rem 2 ≠ 0
8. 0 ≤ i
9. i ≤ k
⊢ -(-(x)^(2 * i) + 1) = x^(2 * i) + 1

3
1. x : ℝ
2. k : ℕ
3. ¬(r0 < x)
4. x < r0
5. |arctangent(-(x)) - arctan-poly(-(x);k)| ≤ (-(x)^(2 * k) + 3/r((2 * k) + 3))
6. arctan-poly(-(x);k) = -(arctan-poly(x;k))
⊢ |arctangent(x) - arctan-poly(x;k)| ≤ (|x|^(2 * k) + 3/r((2 * k) + 3))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  \mneg{}(r0  <  x)
4.  x  <  r0
5.  |arctangent(-(x))  -  arctan-poly(-(x);k)|  \mleq{}  (-(x)\^{}(2  *  k)  +  3/r((2  *  k)  +  3))
\mvdash{}  |arctangent(x)  -  arctan-poly(x;k)|  \mleq{}  (|x|\^{}(2  *  k)  +  3/r((2  *  k)  +  3))


By

---

Latex:
(Assert  arctan-poly(-(x);k)  =  -(arctan-poly(x;k))  BY
              (Unfold  `arctan-poly`  0
                THEN  RWO  "rsum-rminus<"  0
                THEN  Auto
                THEN  (BLemma  `rsum\_functionality`  THEN  Auto)
                THEN  (D  0  THEN  Auto)
                THEN  AutoSplit
                THEN  (RWO  "int-rdiv-req"  0  THEN  Auto)
                THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r((2  *  i)  +  1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  Auto))

---

Home Index