---

Step * 2 1 1 1 of Lemma derivative-log-contraction


1. ∀a:{a:ℝ| r0 < a} . d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
2. a : {a:ℝ| r0 < a} 
3. d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2)
6. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
⊢ (r1 - ((r(4) * a) * e^x/(a + e^x) * (a + e^x))) = ((a - e^x/a + e^x) * (a - e^x/a + e^x))
BY
{ ((InstHyp [⌜x⌝] (-3)⋅ THENA Auto)
   THEN MoveToConcl  (-1)
   THEN GenConclTerm ⌜a + e^x⌝⋅
   THEN Auto
   THEN (nRMul ⌜v⌝ 0⋅ THENA Auto)) }

1
1. ∀a:{a:ℝ| r0 < a} . d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
2. a : {a:ℝ| r0 < a} 
3. d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2)
6. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
7. v : ℝ
8. (a + e^x) = v ∈ ℝ
9. r0 < v
⊢ v * v ≠ r0

2
1. ∀a:{a:ℝ| r0 < a} . d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
2. a : {a:ℝ| r0 < a} 
3. d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
4. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
5. ∀x:ℝ. (r0 < a + e^x^2)
6. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
7. v : ℝ
8. (a + e^x) = v ∈ ℝ
9. r0 < v
⊢ (v + (r(-4) * e^x * (a/v))) = ((e^x * (e^x/v)) + (r(-2) * e^x * (a/v)) + (a * (a/v)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\}  .  d(log-contraction(a;x))/dx  =  \mlambda{}x.r1  -  ((r(4)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
2.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
3.  d(log-contraction(a;x))/dx  =  \mlambda{}x.r1  -  ((r(4)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}2)
6.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
\mvdash{}  (r1  -  ((r(4)  *  a)  *  e\^{}x/(a  +  e\^{}x)  *  (a  +  e\^{}x)))  =  ((a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)  *  (a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl    (-1)
  THEN  GenConclTerm  \mkleeneopen{}a  +  e\^{}x\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index