---

Step * 2 1 1 2 2 1 of Lemma small-arcsine


1. N : ℕ+
2. a : ℝ
3. |a| ≤ (r1/r(N + 1))
4. a ∈ (r(-1), r1)
5. ∀f,f':[-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]
     ⇒ (∀c:ℝ
           ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|f'[x]| ≤ c))
           ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (c * |x - y|))))))
6. [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⊆ (r(-1), r1) 
7. ∀c:ℝ
     ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|arcsine_deriv(x)| ≤ c))
     ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|arcsine(x) - arcsine(y)| ≤ (c * |x - y|))))
8. 0 < N * (N + 1)
9. r0 < r(N * (N + 1))
10. r0 < rsqrt(r(N * (N + 1)))
⊢ |arcsine(r0) - arcsine(a)| ≤ (r1/r(N))
BY
{ (InstHyp [⌜(r(N + 1)/rsqrt(r(N * (N + 1))))⌝;⌜r0⌝;⌜a⌝] (-4)⋅ THENA Auto) }

1
1. N : ℕ+
2. a : ℝ
3. |a| ≤ (r1/r(N + 1))
4. a ∈ (r(-1), r1)
5. ∀f,f':[-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]
     ⇒ (∀c:ℝ
           ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|f'[x]| ≤ c))
           ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (c * |x - y|))))))
6. [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⊆ (r(-1), r1) 
7. ∀c:ℝ
     ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|arcsine_deriv(x)| ≤ c))
     ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|arcsine(x) - arcsine(y)| ≤ (c * |x - y|))))
8. 0 < N * (N + 1)
9. r0 < r(N * (N + 1))
10. r0 < rsqrt(r(N * (N + 1)))
11. x : {x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} 
⊢ |arcsine_deriv(x)| ≤ (r(N + 1)/rsqrt(r(N * (N + 1))))

2
1. N : ℕ+
2. a : ℝ
3. |a| ≤ (r1/r(N + 1))
4. a ∈ (r(-1), r1)
5. ∀f,f':[-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]
     ⇒ (∀c:ℝ
           ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|f'[x]| ≤ c))
           ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (c * |x - y|))))))
6. [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⊆ (r(-1), r1) 
7. ∀c:ℝ
     ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|arcsine_deriv(x)| ≤ c))
     ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|arcsine(x) - arcsine(y)| ≤ (c * |x - y|))))
8. 0 < N * (N + 1)
9. r0 < r(N * (N + 1))
10. r0 < rsqrt(r(N * (N + 1)))
⊢ r0 ∈ {x:ℝ| (-((r1/r(N + 1))) ≤ x) ∧ (x ≤ (r1/r(N + 1)))} 

3
1. N : ℕ+
2. a : ℝ
3. |a| ≤ (r1/r(N + 1))
4. a ∈ (r(-1), r1)
5. ∀f,f':[-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]
     ⇒ (∀c:ℝ
           ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|f'[x]| ≤ c))
           ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (c * |x - y|))))))
6. [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⊆ (r(-1), r1) 
7. ∀c:ℝ
     ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|arcsine_deriv(x)| ≤ c))
     ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|arcsine(x) - arcsine(y)| ≤ (c * |x - y|))))
8. 0 < N * (N + 1)
9. r0 < r(N * (N + 1))
10. r0 < rsqrt(r(N * (N + 1)))
⊢ a ∈ {x:ℝ| (-((r1/r(N + 1))) ≤ x) ∧ (x ≤ (r1/r(N + 1)))} 

4
1. N : ℕ+
2. a : ℝ
3. |a| ≤ (r1/r(N + 1))
4. a ∈ (r(-1), r1)
5. ∀f,f':[-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]
     ⇒ (∀c:ℝ
           ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|f'[x]| ≤ c))
           ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (c * |x - y|))))))
6. [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))] ⊆ (r(-1), r1) 
7. ∀c:ℝ
     ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} . (|arcsine_deriv(x)| ≤ c))
     ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [-((r1/r(N + 1))), (r1/r(N + 1))]} .  (|arcsine(x) - arcsine(y)| ≤ (c * |x - y|))))
8. 0 < N * (N + 1)
9. r0 < r(N * (N + 1))
10. r0 < rsqrt(r(N * (N + 1)))
11. |arcsine(r0) - arcsine(a)| ≤ ((r(N + 1)/rsqrt(r(N * (N + 1)))) * |r0 - a|)
⊢ |arcsine(r0) - arcsine(a)| ≤ (r1/r(N))

---

Latex:

---

Latex:

1.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  |a|  \mleq{}  (r1/r(N  +  1))
4.  a  \mmember{}  (r(-1),  r1)
5.  \mforall{}f,f':[-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
          ((\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y])))
          {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}c:\mBbbR{}
                      ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]\}  .  (|f'[x]|  \mleq{}  c))
                      {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]\}  .
                                  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (c  *  |x  -  y|))))))
6.  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]  \msubseteq{}  (r(-1),  r1) 
7.  \mforall{}c:\mBbbR{}
          ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]\}  .  (|arcsine\_deriv(x)|  \mleq{}  c))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [-((r1/r(N  +  1))),  (r1/r(N  +  1))]\}  .
                      (|arcsine(x)  -  arcsine(y)|  \mleq{}  (c  *  |x  -  y|))))
8.  0  <  N  *  (N  +  1)
9.  r0  <  r(N  *  (N  +  1))
10.  r0  <  rsqrt(r(N  *  (N  +  1)))
\mvdash{}  |arcsine(r0)  -  arcsine(a)|  \mleq{}  (r1/r(N))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}(r(N  +  1)/rsqrt(r(N  *  (N  +  1))))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index