Nuprl Lemma : RankEx2-defop-extract
∀[T,S,P:Type]. ∀[R:P ⟶ RankEx2(S;T) ⟶ ℙ].
  ((∀t:T. (∃x:{P| (R x RankEx2_LeafT(t))}))
  
⇒ (∀s:S. (∃x:{P| (R x RankEx2_LeafS(s))}))
  
⇒ (∀d:RankEx2(S;T). ∀s:S. ∀t:T.  ((∃x:{P| (R x d)}) 
⇒ (∃x:{P| (R x RankEx2_Prod(<<d, s>, t>))})))
  
⇒ (∀z:S × RankEx2(S;T) + RankEx2(S;T)
        (case z of inl(p) => ∃x:{P| (R x (snd(p)))} | inr(d) => ∃x:{P| (R x d)} 
⇒ (∃x:{P| (R x RankEx2_Union(z))})))
  
⇒ (∀L:(S × RankEx2(S;T)) List. ((∀p∈L.∃x:{P| (R x (snd(p)))}) 
⇒ (∃x:{P| (R x RankEx2_ListProd(L))})))
  
⇒ (∀z:T + (RankEx2(S;T) List)
        (case z of inl(p) => True | inr(L) => (∀p∈L.∃x:{P| (R x p)}) 
⇒ (∃x:{P| (R x RankEx2_UnionList(z))})))
  
⇒ {∀t:RankEx2(S;T). (∃x:{P| (R x t)})})
Proof
Definitions occuring in Statement : 
RankEx2_UnionList: RankEx2_UnionList(unionlist)
, 
RankEx2_ListProd: RankEx2_ListProd(listprod)
, 
RankEx2_Union: RankEx2_Union(union)
, 
RankEx2_Prod: RankEx2_Prod(prod)
, 
RankEx2_LeafS: RankEx2_LeafS(leafs)
, 
RankEx2_LeafT: RankEx2_LeafT(leaft)
, 
RankEx2: RankEx2(S;T)
, 
l_all: (∀x∈L.P[x])
, 
list: T List
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
prop: ℙ
, 
guard: {T}
, 
pi2: snd(t)
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
sq_exists: ∃x:{A| B[x]}
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
true: True
, 
apply: f a
, 
function: x:A ⟶ B[x]
, 
pair: <a, b>
, 
product: x:A × B[x]
, 
decide: case b of inl(x) => s[x] | inr(y) => t[y]
, 
union: left + right
, 
universe: Type
Definitions unfolded in proof : 
member: t ∈ T
, 
RankEx2-defop, 
RankEx2-definition, 
RankEx2-induction, 
eq_atom: x =a y
, 
subtype_base_sq, 
assert_of_eq_atom, 
eqtt_to_assert, 
any: any x
, 
btrue: tt
, 
assert-bnot, 
eqff_to_assert, 
bfalse: ff
, 
bool_cases_sqequal, 
RankEx2-ext, 
uniform-comp-nat-induction, 
it: ⋅
, 
top: Top
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
has-value: (a)↓
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
so_lambda: so_lambda(x,y,z,w.t[x; y; z; w])
, 
so_apply: x[s1;s2;s3;s4]
, 
so_lambda: λ2x.t[x]
, 
so_apply: x[s]
, 
uimplies: b supposing a
, 
strict4: strict4(F)
, 
and: P ∧ Q
, 
prop: ℙ
, 
guard: {T}
, 
or: P ∨ Q
, 
squash: ↓T
, 
so_lambda: λ2x y.t[x; y]
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
genrec-ap: genrec-ap
Lemmas referenced : 
RankEx2-defop, 
RankEx2-definition, 
RankEx2-induction, 
subtype_base_sq, 
assert_of_eq_atom, 
eqtt_to_assert, 
assert-bnot, 
eqff_to_assert, 
bool_cases_sqequal, 
RankEx2-ext, 
uniform-comp-nat-induction, 
lifting-strict-spread, 
base_wf, 
lifting-strict-atom_eq, 
is-exception_wf, 
has-value_wf_base, 
top_wf
Rules used in proof : 
introduction, 
cut, 
sqequalSubstitution, 
sqequalTransitivity, 
computationStep, 
sqequalReflexivity, 
instantiate, 
extract_by_obid, 
hypothesis, 
sqequalHypSubstitution, 
sqequalRule, 
isect_memberEquality, 
voidElimination, 
voidEquality, 
thin, 
lemma_by_obid, 
lambdaFormation, 
because_Cache, 
sqequalSqle, 
divergentSqle, 
callbyvalueDecide, 
unionEquality, 
unionElimination, 
sqleReflexivity, 
equalityEquality, 
equalityTransitivity, 
equalitySymmetry, 
hypothesisEquality, 
dependent_functionElimination, 
independent_functionElimination, 
decideExceptionCases, 
axiomSqleEquality, 
exceptionSqequal, 
baseApply, 
closedConclusion, 
baseClosed, 
isectElimination, 
independent_isectElimination, 
independent_pairFormation, 
inrFormation, 
imageMemberEquality, 
imageElimination, 
inlFormation, 
callbyvalueApply, 
applyExceptionCases, 
callbyvalueSpread, 
productEquality, 
productElimination, 
spreadExceptionCases
Latex:
\mforall{}[T,S,P:Type].  \mforall{}[R:P  {}\mrightarrow{}  RankEx2(S;T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    ((\mforall{}t:T.  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_LeafT(t))\}))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:S.  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_LeafS(s))\}))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}d:RankEx2(S;T).  \mforall{}s:S.  \mforall{}t:T.    ((\mexists{}x:\{P|  (R  x  d)\})  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_Prod(<<d,  s>,  t>))\}))\000C)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:S  \mtimes{}  RankEx2(S;T)  +  RankEx2(S;T)
                (case  z  of  inl(p)  =>  \mexists{}x:\{P|  (R  x  (snd(p)))\}  |  inr(d)  =>  \mexists{}x:\{P|  (R  x  d)\}
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_Union(z))\})))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}L:(S  \mtimes{}  RankEx2(S;T))  List
                ((\mforall{}p\mmember{}L.\mexists{}x:\{P|  (R  x  (snd(p)))\})  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_ListProd(L))\})))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:T  +  (RankEx2(S;T)  List)
                (case  z  of  inl(p)  =>  True  |  inr(L)  =>  (\mforall{}p\mmember{}L.\mexists{}x:\{P|  (R  x  p)\})
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_UnionList(z))\})))
    {}\mRightarrow{}  \{\mforall{}t:RankEx2(S;T).  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  t)\})\})
Date html generated:
2016_05_16-AM-09_03_09
Last ObjectModification:
2016_01_17-AM-09_45_02
Theory : C-semantics
Home
Index