Nuprl Lemma : RankEx2-defop
∀[T,S,P:Type]. ∀[R:P ⟶ RankEx2(S;T) ⟶ ℙ].
  ((∀t:T. (∃x:{P| (R x RankEx2_LeafT(t))}))
  
⇒ (∀s:S. (∃x:{P| (R x RankEx2_LeafS(s))}))
  
⇒ (∀d:RankEx2(S;T). ∀s:S. ∀t:T.  ((∃x:{P| (R x d)}) 
⇒ (∃x:{P| (R x RankEx2_Prod(<<d, s>, t>))})))
  
⇒ (∀z:S × RankEx2(S;T) + RankEx2(S;T)
        (case z of inl(p) => ∃x:{P| (R x (snd(p)))} | inr(d) => ∃x:{P| (R x d)} 
⇒ (∃x:{P| (R x RankEx2_Union(z))})))
  
⇒ (∀L:(S × RankEx2(S;T)) List. ((∀p∈L.∃x:{P| (R x (snd(p)))}) 
⇒ (∃x:{P| (R x RankEx2_ListProd(L))})))
  
⇒ (∀z:T + (RankEx2(S;T) List)
        (case z of inl(p) => True | inr(L) => (∀p∈L.∃x:{P| (R x p)}) 
⇒ (∃x:{P| (R x RankEx2_UnionList(z))})))
  
⇒ {∀t:RankEx2(S;T). (∃x:{P| (R x t)})})
Proof
Definitions occuring in Statement : 
RankEx2_UnionList: RankEx2_UnionList(unionlist)
, 
RankEx2_ListProd: RankEx2_ListProd(listprod)
, 
RankEx2_Union: RankEx2_Union(union)
, 
RankEx2_Prod: RankEx2_Prod(prod)
, 
RankEx2_LeafS: RankEx2_LeafS(leafs)
, 
RankEx2_LeafT: RankEx2_LeafT(leaft)
, 
RankEx2: RankEx2(S;T)
, 
l_all: (∀x∈L.P[x])
, 
list: T List
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
prop: ℙ
, 
guard: {T}
, 
pi2: snd(t)
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
sq_exists: ∃x:{A| B[x]}
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
true: True
, 
apply: f a
, 
function: x:A ⟶ B[x]
, 
pair: <a, b>
, 
product: x:A × B[x]
, 
decide: case b of inl(x) => s[x] | inr(y) => t[y]
, 
union: left + right
, 
universe: Type
Definitions unfolded in proof : 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
guard: {T}
, 
member: t ∈ T
, 
prop: ℙ
, 
so_lambda: λ2x.t[x]
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
so_apply: x[s]
, 
sq_exists: ∃x:{A| B[x]}
, 
pi2: snd(t)
, 
so_apply: x[s1;s2]
, 
l_all: (∀x∈L.P[x])
, 
int_seg: {i..j-}
, 
uimplies: b supposing a
, 
lelt: i ≤ j < k
, 
and: P ∧ Q
, 
decidable: Dec(P)
, 
or: P ∨ Q
, 
satisfiable_int_formula: satisfiable_int_formula(fmla)
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
false: False
, 
not: ¬A
, 
top: Top
, 
less_than: a < b
, 
squash: ↓T
Lemmas referenced : 
int_seg_wf, 
int_formula_prop_less_lemma, 
intformless_wf, 
decidable__lt, 
int_formula_prop_wf, 
int_term_value_var_lemma, 
int_term_value_constant_lemma, 
int_formula_prop_le_lemma, 
int_formula_prop_not_lemma, 
int_formula_prop_and_lemma, 
itermVar_wf, 
itermConstant_wf, 
intformle_wf, 
intformnot_wf, 
intformand_wf, 
satisfiable-full-omega-tt, 
decidable__le, 
length_wf, 
int_seg_properties, 
select_wf, 
RankEx2-definition, 
RankEx2_LeafT_wf, 
RankEx2_LeafS_wf, 
RankEx2_Prod_wf, 
RankEx2_Union_wf, 
RankEx2_ListProd_wf, 
RankEx2_UnionList_wf, 
sq_exists_wf, 
l_member_wf, 
l_all_wf2, 
true_wf, 
RankEx2_wf, 
list_wf, 
all_wf
Rules used in proof : 
sqequalSubstitution, 
sqequalTransitivity, 
computationStep, 
sqequalReflexivity, 
isect_memberFormation, 
lambdaFormation, 
cut, 
lemma_by_obid, 
sqequalHypSubstitution, 
isectElimination, 
thin, 
unionEquality, 
cumulativity, 
hypothesisEquality, 
because_Cache, 
hypothesis, 
sqequalRule, 
lambdaEquality, 
functionEquality, 
unionElimination, 
setElimination, 
rename, 
applyEquality, 
setEquality, 
productEquality, 
productElimination, 
independent_pairEquality, 
universeEquality, 
independent_functionElimination, 
dependent_functionElimination, 
inlEquality, 
inrEquality, 
spreadEquality, 
independent_isectElimination, 
natural_numberEquality, 
dependent_pairFormation, 
int_eqEquality, 
intEquality, 
isect_memberEquality, 
voidElimination, 
voidEquality, 
independent_pairFormation, 
computeAll, 
imageElimination, 
equalityEquality, 
equalityTransitivity, 
equalitySymmetry
Latex:
\mforall{}[T,S,P:Type].  \mforall{}[R:P  {}\mrightarrow{}  RankEx2(S;T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    ((\mforall{}t:T.  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_LeafT(t))\}))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:S.  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_LeafS(s))\}))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}d:RankEx2(S;T).  \mforall{}s:S.  \mforall{}t:T.    ((\mexists{}x:\{P|  (R  x  d)\})  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_Prod(<<d,  s>,  t>))\}))\000C)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:S  \mtimes{}  RankEx2(S;T)  +  RankEx2(S;T)
                (case  z  of  inl(p)  =>  \mexists{}x:\{P|  (R  x  (snd(p)))\}  |  inr(d)  =>  \mexists{}x:\{P|  (R  x  d)\}
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_Union(z))\})))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}L:(S  \mtimes{}  RankEx2(S;T))  List
                ((\mforall{}p\mmember{}L.\mexists{}x:\{P|  (R  x  (snd(p)))\})  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_ListProd(L))\})))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:T  +  (RankEx2(S;T)  List)
                (case  z  of  inl(p)  =>  True  |  inr(L)  =>  (\mforall{}p\mmember{}L.\mexists{}x:\{P|  (R  x  p)\})
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  RankEx2\_UnionList(z))\})))
    {}\mRightarrow{}  \{\mforall{}t:RankEx2(S;T).  (\mexists{}x:\{P|  (R  x  t)\})\})
Date html generated:
2016_05_16-AM-09_03_03
Last ObjectModification:
2016_01_17-AM-09_41_12
Theory : C-semantics
Home
Index