Nuprl Lemma : bar_recursion_wf

∀[T:Type]. ∀[R,A:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ]. ∀[d:∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(R[n;s])].
∀[b:∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  (R[n;s] ⇒ A[n;s])]. ∀[i:∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  ((∀t:T. A[n + 1;seq-append(n;1;s;λi.t)]) ⇒ A[n;s])].
∀[n:ℕ]. ∀[s:ℕn ⟶ T].
  ((∀alpha:ℕ ⟶ T. (↓∃m:ℕ. R[n + m;seq-append(n;m;s;alpha)]))
  ⇒ (bar_recursion(d;
                    b;
                    i;
                    n;seq-normalize(n;s)) ∈ A[n;seq-normalize(n;s)]))


Proof



Definitions occuring in Statement :  bar_recursion: bar_recursion,  seq-normalize: seq-normalize(n;s),  seq-append: seq-append(n;m;s1;s2),  int_seg: {i..j-},  nat: ℕ,  decidable: Dec(P),  uall: ∀[x:A]. B[x],  prop: ℙ,  so_apply: x[s1;s2],  all: ∀x:A. B[x],  exists: ∃x:A. B[x],  squash: ↓T,  implies: P ⇒ Q,  member: t ∈ T,  lambda: λx.A[x],  function: x:A ⟶ B[x],  add: n + m,  natural_number: $n,  universe: Type
Definitions unfolded in proof :  uall: ∀[x:A]. B[x],  member: t ∈ T,  implies: P ⇒ Q,  all: ∀x:A. B[x],  so_lambda: λ2x.t[x],  so_apply: x[s1;s2],  nat: ℕ,  guard: {T},  sq_stable: SqStable(P),  squash: ↓T,  prop: ℙ,  subtype_rel: A ⊆r B,  uimplies: b supposing a,  le: A ≤ B,  and: P ∧ Q,  less_than': less_than'(a;b),  false: False,  not: ¬A,  so_apply: x[s],  exists: ∃x:A. B[x],  decidable: Dec(P),  or: P ∨ Q,  iff: P ⇐⇒ Q,  rev_implies: P ⇐ Q,  uiff: uiff(P;Q),  subtract: n - m,  top: Top,  true: True,  bool: 𝔹,  unit: Unit,  it: ⋅,  btrue: tt,  less_than: a < b,  bfalse: ff,  sq_type: SQType(T),  bnot: ¬bb,  ifthenelse: if b then t else f fi ,  assert: ↑b,  bar_recursion: bar_recursion
Lemmas referenced :  istype-universe,  squash_wf,  exists_wf,  nat_wf,  add_nat_wf,  sq_stable__le,  le_wf,  seq-append_wf,  subtype_rel_function,  int_seg_wf,  int_seg_subtype_nat,  istype-void,  subtype_rel_self,  decidable__le,  istype-false,  not-le-2,  condition-implies-le,  minus-add,  istype-int,  minus-one-mul,  zero-add,  minus-one-mul-top,  add-associates,  add-swap,  add-commutes,  add_functionality_wrt_le,  add-zero,  le-add-cancel,  decidable_wf,  minus-zero,  lt_int_wf,  eqtt_to_assert,  assert_of_lt_int,  istype-top,  less-iff-le,  add-mul-special,  zero-mul,  eqff_to_assert,  bool_cases_sqequal,  subtype_base_sq,  bool_wf,  bool_subtype_base,  iff_transitivity,  assert_wf,  bnot_wf,  not_wf,  less_than_wf,  iff_weakening_uiff,  assert_of_bnot,  seq-append0,  seq-normalize-normalize,  seq-normalize_wf,  seq-normalize-append,  seq-append-assoc,  seq-append1,  seq-append-normalize,  seq-append1-assoc
Rules used in proof :  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  Error :isect_memberFormation_alt,  introduction,  cut,  Error :lambdaFormation_alt,  sqequalRule,  sqequalHypSubstitution,  hypothesis,  Error :functionIsType,  Error :inhabitedIsType,  hypothesisEquality,  extract_by_obid,  isectElimination,  thin,  Error :universeIsType,  Error :lambdaEquality_alt,  applyEquality,  Error :dependent_set_memberEquality_alt,  addEquality,  setElimination,  rename,  natural_numberEquality,  independent_functionElimination,  imageMemberEquality,  baseClosed,  imageElimination,  Error :equalityIsType1,  equalityTransitivity,  equalitySymmetry,  dependent_functionElimination,  because_Cache,  independent_isectElimination,  independent_pairFormation,  axiomEquality,  Error :functionIsTypeImplies,  Error :isect_memberEquality_alt,  unionElimination,  voidElimination,  productElimination,  minusEquality,  universeEquality,  equalityElimination,  lessCases,  axiomSqEquality,  Error :dependent_pairFormation_alt,  promote_hyp,  instantiate,  cumulativity,  bar_Induction,  functionExtensionality
Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[R,A:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[d:\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    Dec(R[n;s])].  \mforall{}[b:\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.
                                                                                                                                                                        (R[n;s]
                                                                                                                                                                        {}\mRightarrow{}  A[n;s])].
\mforall{}[i:\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    ((\mforall{}t:T.  A[n  +  1;seq-append(n;1;s;\mlambda{}i.t)])  {}\mRightarrow{}  A[n;s])].  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T].
    ((\mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  (\mdownarrow{}\mexists{}m:\mBbbN{}.  R[n  +  m;seq-append(n;m;s;alpha)]))
    {}\mRightarrow{}  (bar\_recursion(d;
                                        b;
                                        i;
                                        n;seq-normalize(n;s))  \mmember{}  A[n;seq-normalize(n;s)]))


Date html generated: 2019_06_20-AM-11_28_52
Last ObjectModification: 2018_10_07-PM-08_32_56

Theory : bar-induction


Home Index