---

Step * 1 2 2 1 1 of Lemma gamma-neighbourhood-prop4


1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n0 : finite-nat-seq()
3. x : ℕ
4. n : ℕ
5. ¬(((fst(ext-finite-nat-seq(n0**λk.x^(1);0)^(n))) ≤ (fst(n0)))
∧ ((snd(ext-finite-nat-seq(n0**λk.x^(1);0)^(n))) = (snd(n0)) ∈ (ℕfst(ext-finite-nat-seq(n0**λk.x^(1);0)^(n)) ⟶ ℕ)))
6. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
7. ∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
8. y : (∃x@0:ℕ
         ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x@0^(1);ext-finite-nat-seq(n0**λk.x^(1);0)^(n)))
         ∧ (¬((beta x@0) = 0 ∈ ℤ))
         ∧ (∀y:ℕx@0. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)))) ⟶ False
⊢ ((fst(n0**λi.x^(1))) ≤ (fst(ext-finite-nat-seq(n0**λk.x^(1);0)^(n))))
∧ ((snd(n0**λi.x^(1))) = (snd(ext-finite-nat-seq(n0**λk.x^(1);0)^(n))) ∈ (ℕfst(n0**λi.x^(1)) ⟶ ℕ))
BY
{ (MoveToConcl (-4)
   THEN DVar `n0'⋅
   THEN RepUR ``ext-finite-nat-seq append-finite-nat-seq mk-finite-nat-seq`` 0
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n1 : ℕ
3. n2 : ℕn1 ⟶ ℕ
4. x : ℕ
5. n : ℕ
6. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
7. ∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
8. y : (∃x@0:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(<n1, n2>**λi.x@0^(1);ext-finite-nat-seq(<n1, n2>**λk.x^(1);0)^(n))) ∧ (¬((beta x@0) \000C= 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx@0. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)))) ⟶ False
9. ¬((n ≤ n1) ∧ ((λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else x  else 0) = n2 ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
⊢ ((n1 + 1) ≤ n)
∧ ((λx@0.if (x@0) < (n1)  then n2 x@0  else x)
  = (λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else x  else 0)
  ∈ (ℕn1 + 1 ⟶ ℕ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  beta  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  n0  :  finite-nat-seq()
3.  x  :  \mBbbN{}
4.  n  :  \mBbbN{}
5.  \mneg{}(((fst(ext-finite-nat-seq(n0**\mlambda{}k.x\^{}(1);0)\^{}(n)))  \mleq{}  (fst(n0)))
\mwedge{}  ((snd(ext-finite-nat-seq(n0**\mlambda{}k.x\^{}(1);0)\^{}(n)))  =  (snd(n0))))
6.  \mneg{}((beta  x)  =  0)
7.  \mforall{}y:\mBbbN{}x.  ((beta  y)  =  0)
8.  y  :  (\mexists{}x@0:\mBbbN{}
                  ((\muparrow{}init-seg-nat-seq(n0**\mlambda{}i.x@0\^{}(1);ext-finite-nat-seq(n0**\mlambda{}k.x\^{}(1);0)\^{}(n)))
                  \mwedge{}  (\mneg{}((beta  x@0)  =  0))
                  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbN{}x@0.  ((beta  y)  =  0))))  {}\mrightarrow{}  False
\mvdash{}  ((fst(n0**\mlambda{}i.x\^{}(1)))  \mleq{}  (fst(ext-finite-nat-seq(n0**\mlambda{}k.x\^{}(1);0)\^{}(n))))
\mwedge{}  ((snd(n0**\mlambda{}i.x\^{}(1)))  =  (snd(ext-finite-nat-seq(n0**\mlambda{}k.x\^{}(1);0)\^{}(n))))


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-4)
  THEN  DVar  `n0'\mcdot{}
  THEN  RepUR  ``ext-finite-nat-seq  append-finite-nat-seq  mk-finite-nat-seq``  0
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index