---

Step * 1 2 2 1 1 1 of Lemma gamma-neighbourhood-prop4


1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n1 : ℕ
3. n2 : ℕn1 ⟶ ℕ
4. x : ℕ
5. n : ℕ
6. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
7. ∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
8. y : (∃x@0:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(<n1, n2>**λi.x@0^(1);ext-finite-nat-seq(<n1, n2>**λk.x^(1);0)^(n))) ∧ (¬((beta x@0) \000C= 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx@0. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)))) ⟶ False
9. ¬((n ≤ n1) ∧ ((λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else x  else 0) = n2 ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
⊢ ((n1 + 1) ≤ n)
∧ ((λx@0.if (x@0) < (n1)  then n2 x@0  else x)
  = (λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else x  else 0)
  ∈ (ℕn1 + 1 ⟶ ℕ))
BY
{ D 0 }

1
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n1 : ℕ
3. n2 : ℕn1 ⟶ ℕ
4. x : ℕ
5. n : ℕ
6. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
7. ∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
8. y : (∃x@0:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(<n1, n2>**λi.x@0^(1);ext-finite-nat-seq(<n1, n2>**λk.x^(1);0)^(n))) ∧ (¬((beta x@0) \000C= 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx@0. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)))) ⟶ False
9. ¬((n ≤ n1) ∧ ((λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else x  else 0) = n2 ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
⊢ (n1 + 1) ≤ n

2
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n1 : ℕ
3. n2 : ℕn1 ⟶ ℕ
4. x : ℕ
5. n : ℕ
6. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
7. ∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
8. y : (∃x@0:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(<n1, n2>**λi.x@0^(1);ext-finite-nat-seq(<n1, n2>**λk.x^(1);0)^(n))) ∧ (¬((beta x@0) \000C= 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx@0. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)))) ⟶ False
9. ¬((n ≤ n1) ∧ ((λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else x  else 0) = n2 ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
⊢ (λx@0.if (x@0) < (n1)  then n2 x@0  else x)
= (λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else x  else 0)
∈ (ℕn1 + 1 ⟶ ℕ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  beta  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  n1  :  \mBbbN{}
3.  n2  :  \mBbbN{}n1  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  x  :  \mBbbN{}
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  \mneg{}((beta  x)  =  0)
7.  \mforall{}y:\mBbbN{}x.  ((beta  y)  =  0)
8.  y  :  (\mexists{}x@0:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}init-seg-nat-seq(<n1,  n2>**\mlambda{}i.x@0\^{}(1);ext-finite-nat-seq(<n1,  n2>**\mlambda{}k.x\^{}(1);0)\^{}(n\000C)))  \mwedge{}  (\mneg{}((beta  x@0)  =  0))  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbN{}x@0.  ((beta  y)  =  0))))
{}\mrightarrow{}  False
9.  \mneg{}((n  \mleq{}  n1)  \mwedge{}  ((\mlambda{}k.if  (k)  <  (n1  +  1)    then  if  (k)  <  (n1)    then  n2  k    else  x    else  0)  =  n2))
\mvdash{}  ((n1  +  1)  \mleq{}  n)
\mwedge{}  ((\mlambda{}x@0.if  (x@0)  <  (n1)    then  n2  x@0    else  x)
    =  (\mlambda{}k.if  (k)  <  (n1  +  1)    then  if  (k)  <  (n1)    then  n2  k    else  x    else  0))


By

---

Latex:
D  0

---

Home Index