---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma finite-acyclic-rel


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(x R y)
4. m : ℤ
5. [%2] : 0 < m
6. ∀[T':Type]. ((T' ⊆r T) ⇒ T' ~ ℕm - 1 ⇒ acyclic-rel(T';R) ⇒ SWellFounded(x R y))
7. [T'] : Type
8. T' ⊆r T
9. f : T' ⟶ ℕm
10. Bij(T';ℕm;f)
11. acyclic-rel(T';R)
12. g : ℕm ⟶ T'
13. ∀b:ℕm. ((f (g b)) = b ∈ ℕm)
14. ∀a:T'. ((g (f a)) = a ∈ T')
⊢ ∃a:T'. ∀b:T'. (¬(b R a))
BY
{ Assert ⌜acyclic-rel(ℕm;λi,j. ((g i) R (g j)))⌝⋅⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(x R y)
4. m : ℤ
5. [%2] : 0 < m
6. ∀[T':Type]. ((T' ⊆r T) ⇒ T' ~ ℕm - 1 ⇒ acyclic-rel(T';R) ⇒ SWellFounded(x R y))
7. [T'] : Type
8. T' ⊆r T
9. f : T' ⟶ ℕm
10. Bij(T';ℕm;f)
11. acyclic-rel(T';R)
12. g : ℕm ⟶ T'
13. ∀b:ℕm. ((f (g b)) = b ∈ ℕm)
14. ∀a:T'. ((g (f a)) = a ∈ T')
⊢ acyclic-rel(ℕm;λi,j. ((g i) R (g j)))

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(x R y)
4. m : ℤ
5. [%2] : 0 < m
6. ∀[T':Type]. ((T' ⊆r T) ⇒ T' ~ ℕm - 1 ⇒ acyclic-rel(T';R) ⇒ SWellFounded(x R y))
7. [T'] : Type
8. T' ⊆r T
9. f : T' ⟶ ℕm
10. Bij(T';ℕm;f)
11. acyclic-rel(T';R)
12. g : ℕm ⟶ T'
13. ∀b:ℕm. ((f (g b)) = b ∈ ℕm)
14. ∀a:T'. ((g (f a)) = a ∈ T')
15. acyclic-rel(ℕm;λi,j. ((g i) R (g j)))
⊢ ∃a:T'. ∀b:T'. (¬(b R a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  R  y)
4.  m  :  \mBbbZ{}
5.  [\%2]  :  0  <  m
6.  \mforall{}[T':Type].  ((T'  \msubseteq{}r  T)  {}\mRightarrow{}  T'  \msim{}  \mBbbN{}m  -  1  {}\mRightarrow{}  acyclic-rel(T';R)  {}\mRightarrow{}  SWellFounded(x  R  y))
7.  [T']  :  Type
8.  T'  \msubseteq{}r  T
9.  f  :  T'  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m
10.  Bij(T';\mBbbN{}m;f)
11.  acyclic-rel(T';R)
12.  g  :  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  T'
13.  \mforall{}b:\mBbbN{}m.  ((f  (g  b))  =  b)
14.  \mforall{}a:T'.  ((g  (f  a))  =  a)
\mvdash{}  \mexists{}a:T'.  \mforall{}b:T'.  (\mneg{}(b  R  a))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}acyclic-rel(\mBbbN{}m;\mlambda{}i,j.  ((g  i)  R  (g  j)))\mkleeneclose{}\mcdot{}\mcdot{}

---

Home Index