---

Step * 2 1 1 1 of Lemma faces-of-compatible-rat-cubes

.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. g : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. d : ℚCube(k)
6. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(d i))
8. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
9. ∀i:ℕk. g i ≤ d i
10. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i ⋂ g i))
11. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i ⋂ d i))
12. (∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ c i) ∧ (∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ d i)
13. ∀i:ℕk. (((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ))
⊢ ∀i:ℕk. (f i ⋂ g i ≤ f i ∧ f i ⋂ g i ≤ g i)
BY
{ (ParallelLast THEN (InstLemma `compatible-rat-intervals-iff` [⌜f i⌝; ⌜g i⌝]⋅ THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. g : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. d : ℚCube(k)
6. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(d i))
8. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
9. ∀i:ℕk. g i ≤ d i
10. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i ⋂ g i))
11. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i ⋂ d i))
12. ∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ c i
13. ∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ d i
14. ∀i:ℕk. (((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ))
15. i : ℕk
16. ((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ)
⊢ ↑Inhabited(f i)

2
1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. g : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. d : ℚCube(k)
6. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(d i))
8. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
9. ∀i:ℕk. g i ≤ d i
10. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i ⋂ g i))
11. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i ⋂ d i))
12. ∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ c i
13. ∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ d i
14. ∀i:ℕk. (((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ))
15. i : ℕk
16. ((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ)
⊢ ↑Inhabited(g i)

3
1. k : ℕ
2. f : ℚCube(k)
3. g : ℚCube(k)
4. c : ℚCube(k)
5. d : ℚCube(k)
6. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i))
7. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(d i))
8. ∀i:ℕk. f i ≤ c i
9. ∀i:ℕk. g i ≤ d i
10. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(f i ⋂ g i))
11. ∀i:ℕk. (↑Inhabited(c i ⋂ d i))
12. (∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ c i) ∧ (∀i:ℕk. c i ⋂ d i ≤ d i)
13. ∀i:ℕk. (((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ))
14. i : ℕk
15. ((c i) = (d i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((c i))) = (fst((d i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((d i))) = (fst((c i))) ∈ ℚ)
16. f i ⋂ g i ≤ f i ∧ f i ⋂ g i ≤ g i
⇐⇒ ((f i) = (g i) ∈ ℚInterval) ∨ ((snd((f i))) = (fst((g i))) ∈ ℚ) ∨ ((snd((g i))) = (fst((f i))) ∈ ℚ)
⊢ f i ⋂ g i ≤ f i ∧ f i ⋂ g i ≤ g i

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  k  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbQ{}Cube(k)
3.  g  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
5.  d  :  \mBbbQ{}Cube(k)
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(c  i))
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(d  i))
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  f  i  \mleq{}  c  i
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  g  i  \mleq{}  d  i
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(f  i  \mcap{}  g  i))
11.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}Inhabited(c  i  \mcap{}  d  i))
12.  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  c  i  \mcap{}  d  i  \mleq{}  c  i)  \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  c  i  \mcap{}  d  i  \mleq{}  d  i)
13.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((c  i)  =  (d  i))  \mvee{}  ((snd((c  i)))  =  (fst((d  i))))  \mvee{}  ((snd((d  i)))  =  (fst((c  i)))))
\mvdash{}  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (f  i  \mcap{}  g  i  \mleq{}  f  i  \mwedge{}  f  i  \mcap{}  g  i  \mleq{}  g  i)


By

---

Latex:
(ParallelLast  THEN  (InstLemma  `compatible-rat-intervals-iff`  [\mkleeneopen{}f  i\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}g  i\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index