---

Step * 2 1 1 1 1 1 of Lemma binomial


1. r : CRng
2. a : |r|
3. b : |r|
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. ((a +r b) ↑r (n - 1)) = (Σ(r) 0 ≤ i < (n - 1) + 1. choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) ∈ |r|
⊢ (((Σ(r) 0 ≤ i < (n - 1) + 1. choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) * a) 
   +r 
   ((Σ(r) 0 ≤ i < (n - 1) + 1. choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) * b))
= ((a ↑r n) 
   +r 
   ((b ↑r n) 
    +r 
    ((Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i - 1) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))) 
     +r 
     (Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))))))
∈ |r|
BY
{ RWH (LemmaC `rng_times_sum_r`) 0  
THENM RWN 2 (LemmaC `rng_sum_unroll_lo`) 0 
THENM RWN 1 (LemmaC `rng_sum_unroll_hi`) 0 
THENM RWN 1 (LemmaWithC [`k',1] `rng_sum_shift`) 0 
THENA Auto' }

1
1. r : CRng
2. a : |r|
3. b : |r|
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. ((a +r b) ↑r (n - 1)) = (Σ(r) 0 ≤ i < (n - 1) + 1. choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) ∈ |r|
⊢ (((Σ(r) 0 + 1 
          ≤ i 
          < (((n - 1) + 1) - 1) + 1
      (choose(n - 1;i - 1) ⋅r ((a ↑r (i - 1)) * (b ↑r (n - 1 - i - 1)))) * a) 
    +r 
    ((choose(n - 1;((n - 1) + 1) - 1) ⋅r ((a ↑r (((n - 1) + 1) - 1)) * (b ↑r (n - 1 - ((n - 1) + 1) - 1)))) * a)) 
   +r 
   (((choose(n - 1;0) ⋅r ((a ↑r 0) * (b ↑r (n - 1 - 0)))) * b) 
    +r 
    (Σ(r) 0 + 1 
          ≤ i 
          < (n - 1) + 1
      (choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) * b)))
= ((a ↑r n) 
   +r 
   ((b ↑r n) 
    +r 
    ((Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i - 1) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))) 
     +r 
     (Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))))))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  a  :  |r|
3.  b  :  |r|
4.  n  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  n
6.  ((a  +r  b)  \muparrow{}r  (n  -  1))
=  (\mSigma{}(r)  0 
                \mleq{}  i 
                <  (n  -  1)  +  1
        choose(n  -  1;i)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  1  -  i))))
\mvdash{}  (((\mSigma{}(r)  0  \mleq{}  i  <  (n  -  1)  +  1.  choose(n  -  1;i)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  1  -  i))))  *  a) 
      +r 
      ((\mSigma{}(r)  0  \mleq{}  i  <  (n  -  1)  +  1.  choose(n  -  1;i)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  1  -  i))))  *  b))
=  ((a  \muparrow{}r  n) 
      +r 
      ((b  \muparrow{}r  n) 
        +r 
        ((\mSigma{}(r)  1 
                      \mleq{}  i 
                      <  n
              choose(n  -  1;i  -  1)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  i)))) 
          +r 
          (\mSigma{}(r)  1 
                      \mleq{}  i 
                      <  n
              choose(n  -  1;i)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  i)))))))


By

---

Latex:
RWH  (LemmaC  `rng\_times\_sum\_r`)  0   
THENM  RWN  2  (LemmaC  `rng\_sum\_unroll\_lo`)  0 
THENM  RWN  1  (LemmaC  `rng\_sum\_unroll\_hi`)  0 
THENM  RWN  1  (LemmaWithC  [`k',1]  `rng\_sum\_shift`)  0 
THENA  Auto'

---

Home Index