---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma binomial


1. r : CRng
2. a : |r|
3. b : |r|
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. ((a +r b) ↑r (n - 1)) = (Σ(r) 0 ≤ i < (n - 1) + 1. choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) ∈ |r|
⊢ (((Σ(r) 0 + 1 
          ≤ i 
          < (((n - 1) + 1) - 1) + 1
      (choose(n - 1;i - 1) ⋅r ((a ↑r (i - 1)) * (b ↑r (n - 1 - i - 1)))) * a) 
    +r 
    ((choose(n - 1;((n - 1) + 1) - 1) ⋅r ((a ↑r (((n - 1) + 1) - 1)) * (b ↑r (n - 1 - ((n - 1) + 1) - 1)))) * a)) 
   +r 
   (((choose(n - 1;0) ⋅r ((a ↑r 0) * (b ↑r (n - 1 - 0)))) * b) 
    +r 
    (Σ(r) 0 + 1 
          ≤ i 
          < (n - 1) + 1
      (choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) * b)))
= ((a ↑r n) 
   +r 
   ((b ↑r n) 
    +r 
    ((Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i - 1) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))) 
     +r 
     (Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))))))
∈ |r|
BY
{ TACTIC:RWH (SubC (RecUnfoldITEC `choose` Auto')  
    ANDTHENC LemmaC `rng_nat_op_one`) 0 
THENM RW IntNormC 0 THENA Auto' }

1
1. r : CRng
2. a : |r|
3. b : |r|
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. ((a +r b) ↑r (n - 1)) = (Σ(r) 0 ≤ i < (n - 1) + 1. choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) ∈ |r|
⊢ (((Σ(r) 1 
          ≤ i 
          < n
      (choose(n - 1;i - 1) ⋅r ((a ↑r (i - 1)) * (b ↑r (n - 1 - i - 1)))) * a) 
    +r 
    (((a ↑r ((-1) + n)) * (b ↑r 0)) * a)) 
   +r 
   ((((a ↑r 0) * (b ↑r ((-1) + n))) * b) +r (Σ(r) 1 ≤ i < n. (choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - 1 - i)))) * b)))
= ((a ↑r n) 
   +r 
   ((b ↑r n) 
    +r 
    ((Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i - 1) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))) 
     +r 
     (Σ(r) 1 
           ≤ i 
           < n
       choose(n - 1;i) ⋅r ((a ↑r i) * (b ↑r (n - i)))))))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  a  :  |r|
3.  b  :  |r|
4.  n  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  n
6.  ((a  +r  b)  \muparrow{}r  (n  -  1))
=  (\mSigma{}(r)  0 
                \mleq{}  i 
                <  (n  -  1)  +  1
        choose(n  -  1;i)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  1  -  i))))
\mvdash{}  (((\mSigma{}(r)  0  +  1 
                    \mleq{}  i 
                    <  (((n  -  1)  +  1)  -  1)  +  1
            (choose(n  -  1;i  -  1)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  (i  -  1))  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  1  -  i  -  1))))  *  a) 
        +r 
        ((choose(n  -  1;((n  -  1)  +  1)  -  1)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  (((n  -  1)  +  1)  -  1)) 
                                                                                    * 
                                                                                    (b  \muparrow{}r  (n  -  1  -  ((n  -  1)  +  1)  -  1)))) 
          * 
          a)) 
      +r 
      (((choose(n  -  1;0)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  0)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  1  -  0))))  *  b) 
        +r 
        (\mSigma{}(r)  0  +  1 
                    \mleq{}  i 
                    <  (n  -  1)  +  1
            (choose(n  -  1;i)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  1  -  i))))  *  b)))
=  ((a  \muparrow{}r  n) 
      +r 
      ((b  \muparrow{}r  n) 
        +r 
        ((\mSigma{}(r)  1 
                      \mleq{}  i 
                      <  n
              choose(n  -  1;i  -  1)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  i)))) 
          +r 
          (\mSigma{}(r)  1 
                      \mleq{}  i 
                      <  n
              choose(n  -  1;i)  \mcdot{}r  ((a  \muparrow{}r  i)  *  (b  \muparrow{}r  (n  -  i)))))))


By

---

Latex:
TACTIC:RWH  (SubC  (RecUnfoldITEC  `choose`  Auto')   
        ANDTHENC  LemmaC  `rng\_nat\_op\_one`)  0 
THENM  RW  IntNormC  0  THENA  Auto'

---

Home Index