---

Step * 1 2 1 2 of Lemma fpf-normalize-ap


1. A : Type
2. eq : EqDecider(A)
3. B : A ─→ Type
4. d : A List
5. g1 : x:{x:A| (x ∈ d)}  ─→ B[x]
6. x : A
7. ↑x ∈b d)
8. u : {x:A| (x ∈ d)} 
9. v : {x:A| (x ∈ d)}  List
10. (↑x ∈b v))
⇒ (((snd(reduce(λx,f. <[x / filter(λa.(¬b((eq x a) ∨bff));fst(f))]
                       , λa.if (eq x a) ∨bff then g1 x else (snd(f)) a fi 
                       >;<[], λx.⋅>;v))) 
     x)
   = (g1 x)
   ∈ B[x])
⊢ (↑x ∈b [u / v]))
⇒ (((snd(reduce(λx,f. <[x / filter(λa.(¬b((eq x a) ∨bff));fst(f))]
                       , λa.if (eq x a) ∨bff then g1 x else (snd(f)) a fi 
                       >;<[], λx.⋅>;[u / v]))) 
     x)
   = (g1 x)
   ∈ B[x])
BY
{ ((D 0 THENA Auto) THEN Reduce 0 THEN OldAutoBoolCase ⌈eq u x⌉⋅) }

1
1. A : Type
2. eq : EqDecider(A)
3. B : A ─→ Type
4. d : A List
5. g1 : x:{x:A| (x ∈ d)}  ─→ B[x]
6. x : A
7. ↑x ∈b d)
8. u : {x:A| (x ∈ d)} 
9. v : {x:A| (x ∈ d)}  List
10. (↑x ∈b v))
⇒ (((snd(reduce(λx,f. <[x / filter(λa.(¬b((eq x a) ∨bff));fst(f))]
                       , λa.if (eq x a) ∨bff then g1 x else (snd(f)) a fi 
                       >;<[], λx.⋅>;v))) 
     x)
   = (g1 x)
   ∈ B[x])
11. ↑x ∈b [u / v])@i
12. u = x ∈ A
⊢ (g1 u) = (g1 x) ∈ B[x]

2
1. A : Type
2. eq : EqDecider(A)
3. B : A ─→ Type
4. d : A List
5. g1 : x:{x:A| (x ∈ d)}  ─→ B[x]
6. x : A
7. ↑x ∈b d)
8. u : {x:A| (x ∈ d)} 
9. v : {x:A| (x ∈ d)}  List
10. (↑x ∈b v))
⇒ (((snd(reduce(λx,f. <[x / filter(λa.(¬b((eq x a) ∨bff));fst(f))]
                       , λa.if (eq x a) ∨bff then g1 x else (snd(f)) a fi 
                       >;<[], λx.⋅>;v))) 
     x)
   = (g1 x)
   ∈ B[x])
11. ↑x ∈b [u / v])@i
12. ¬(u = x ∈ A)
⊢ ((snd(reduce(λx,f. <[x / filter(λa.(¬b((eq x a) ∨bff));fst(f))], λa.if (eq x a) ∨bff then g1 x else (snd(f)) a fi >;<[\000C]
                                                                                                                 , λx.⋅
                                                                                                                 >;v))) 
   x)
= (g1 x)
∈ B[x]

---

Latex:



1.  A  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(A)
3.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  d  :  A  List
5.  g1  :  x:\{x:A|  (x  \mmember{}  d)\}    {}\mrightarrow{}  B[x]
6.  x  :  A
7.  \muparrow{}x  \mmember{}\msubb{}  d)
8.  u  :  \{x:A|  (x  \mmember{}  d)\} 
9.  v  :  \{x:A|  (x  \mmember{}  d)\}    List
10.  (\muparrow{}x  \mmember{}\msubb{}  v))
{}\mRightarrow{}  (((snd(reduce(\mlambda{}x,f.  <[x  /  filter(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}((eq  x  a)  \mvee{}\msubb{}ff));fst(f))]
                                              ,  \mlambda{}a.if  (eq  x  a)  \mvee{}\msubb{}ff  then  g1  x  else  (snd(f))  a  fi 
                                              ><[],  \mlambda{}x.\mcdot{}>v))) 
          x)
      =  (g1  x))
\mvdash{}  (\muparrow{}x  \mmember{}\msubb{}  [u  /  v]))
{}\mRightarrow{}  (((snd(reduce(\mlambda{}x,f.  <[x  /  filter(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}((eq  x  a)  \mvee{}\msubb{}ff));fst(f))]
                                              ,  \mlambda{}a.if  (eq  x  a)  \mvee{}\msubb{}ff  then  g1  x  else  (snd(f))  a  fi 
                                              ><[],  \mlambda{}x.\mcdot{}>[u  /  v]))) 
          x)
      =  (g1  x))


By

((D  0  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0  THEN  OldAutoBoolCase  \mkleeneopen{}eq  u  x\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index