---

Step * of Lemma subset-co-regext-1

∀a:coSet{i:l}. (transitive-set(a) ⇒ (∀x:Set{i:l}. ((x ∈ a) ⇒ (x ∈ co-regext(a)))))
BY
{ (RepeatFor 2 (Intro)
   THEN SetInduction
   THEN Auto
   THEN (coSetD 1 THEN D 1)
   THEN (RWO  "setmem-iff" (-1) THENA Auto)
   THEN RepUR ``set-dom set-item mk-set Wsup`` -1
   THEN Fold `Wsup` (-1)
   THEN Fold `mk-set` (-1)
   THEN D -1
   THEN RenameVar `A' 1
   THEN RenameVar `a' 2
   THEN (InstLemma `co-regext-lemma` [⌜A⌝;⌜a⌝;⌜a t⌝;⌜λx,y. seteq(x;y)⌝]⋅ THEN Reduce 0)
   THEN Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. A : Type
2. a : A ⟶ coSet{i:l}
3. transitive-set(<A, a>)
4. T : Type@i'
5. f : T ⟶ Set{i:l}@i'
6. ∀t:T. ((f[t] ∈ <A, a>) ⇒ (f[t] ∈ co-regext(<A, a>)))
7. t : A
8. seteq(f"(T);a t)
⊢ ∃t@0:A. ∃g:set-dom(a t@0) ⟶ coSet{i:l}. seteq(a t;mk-coset(set-dom(a t@0);g))

2
.....antecedent..... 
1. A : Type
2. a : A ⟶ coSet{i:l}
3. transitive-set(<A, a>)
4. T : Type@i'
5. f : T ⟶ Set{i:l}@i'
6. ∀t:T. ((f[t] ∈ <A, a>) ⇒ (f[t] ∈ co-regext(<A, a>)))
7. t : A
8. seteq(f"(T);a t)
⊢ coSetRelation(λx,y. seteq(x;y))

3
.....antecedent..... 
1. A : Type
2. a : A ⟶ coSet{i:l}
3. transitive-set(<A, a>)
4. T : Type@i'
5. f : T ⟶ Set{i:l}@i'
6. ∀t:T. ((f[t] ∈ <A, a>) ⇒ (f[t] ∈ co-regext(<A, a>)))
7. t : A
8. seteq(f"(T);a t)
⊢  λx,y. seteq(x;y):(a t ⇒ co-regext(mk-coset(A;a)))

4
1. A : Type
2. a : A ⟶ coSet{i:l}
3. transitive-set(<A, a>)
4. T : Type@i'
5. f : T ⟶ Set{i:l}@i'
6. ∀t:T. ((f[t] ∈ <A, a>) ⇒ (f[t] ∈ co-regext(<A, a>)))
7. t : A
8. seteq(f"(T);a t)
9. ∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ co-regext(mk-coset(A;a))) ∧  λx,y. seteq(x;y):(a t ⇒ b) ∧ λx,y. seteq(x;y):(a t ─>> b))
⊢ (f"(T) ∈ co-regext(<A, a>))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a:coSet\{i:l\}.  (transitive-set(a)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:Set\{i:l\}.  ((x  \mmember{}  a)  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  co-regext(a)))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (Intro)
  THEN  SetInduction
  THEN  Auto
  THEN  (coSetD  1  THEN  D  1)
  THEN  (RWO    "setmem-iff"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``set-dom  set-item  mk-set  Wsup``  -1
  THEN  Fold  `Wsup`  (-1)
  THEN  Fold  `mk-set`  (-1)
  THEN  D  -1
  THEN  RenameVar  `A'  1
  THEN  RenameVar  `a'  2
  THEN  (InstLemma  `co-regext-lemma`  [\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a  t\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x,y.  seteq(x;y)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Reduce  0)
  THEN  Auto)

---

Home Index