---

Step * 2 1 of Lemma ip-line-circle-lemma


1. rv : InnerProductSpace
2. r : ℝ
3. p : Point
4. q : Point
5. p # q
6. ||p|| ≤ r
7. r0 ≤ (p ⋅ q - p^2 - ||q - p||^2 * (||p||^2 - r^2))
8. q # p
9. r0 < ||q - p||
⊢ let v = q - p in
      (r0 ≤ (((r(2) * p ⋅ v) * r(2) * p ⋅ v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
      ∧ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p ⋅ v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
      ∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p ⋅ v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
BY
{ (MoveToConcl (-3)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜q - p⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepUR ``let`` 0
   THEN ThinVar `q'
   THEN RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. r : ℝ
3. p : Point
4. ||p|| ≤ r
5. v : Point
6. r0 < ||v||
7. r0 ≤ (p ⋅ v^2 - ||v||^2 * (||p||^2 - r^2))
⊢ (r0 ≤ (((r(2) * p ⋅ v) * r(2) * p ⋅ v) - r(4) * ||v||^2 * (||p||^2 - r^2)))
∧ (||p + quadratic1(||v||^2;r(2) * p ⋅ v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)
∧ (||p + quadratic2(||v||^2;r(2) * p ⋅ v;||p||^2 - r^2)*v|| = r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  r  :  \mBbbR{}
3.  p  :  Point
4.  q  :  Point
5.  p  \#  q
6.  ||p||  \mleq{}  r
7.  r0  \mleq{}  (p  \mcdot{}  q  -  p\^{}2  -  ||q  -  p||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2))
8.  q  \#  p
9.  r0  <  ||q  -  p||
\mvdash{}  let  v  =  q  -  p  in
            (r0  \mleq{}  (((r(2)  *  p  \mcdot{}  v)  *  r(2)  *  p  \mcdot{}  v)  -  r(4)  *  ||v||\^{}2  *  (||p||\^{}2  -  r\^{}2)))
            \mwedge{}  (||p  +  quadratic1(||v||\^{}2;r(2)  *  p  \mcdot{}  v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r)
            \mwedge{}  (||p  +  quadratic2(||v||\^{}2;r(2)  *  p  \mcdot{}  v;||p||\^{}2  -  r\^{}2)*v||  =  r)


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-3)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}q  -  p\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``let``  0
  THEN  ThinVar  `q'
  THEN  RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto)))

---

Home Index