---

Step * 2 2 2 1 1 1 2 1 of Lemma path-in-union


1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A + B)
4. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
10. t : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
11. ∀t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
12. t' : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
13. t ≡ t'
14. f t ≡ f t'
⊢ outr(f t) ≡ outr(f t')
BY
{ ((Assert ↑isr(f@t) BY
          Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (Assert ↑isr(f@t') BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN Unfold `path-at` 0
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜f t⌝;⌜f t'⌝]⋅
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (RepUR ``ss-point union-ss mk-ss`` -5 THEN D -5 THEN Reduce 0)
   THEN RepUR ``ss-point union-ss mk-ss`` -3
   THEN D -3
   THEN Reduce 0
   THEN Auto) }

1
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A + B)
4. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
10. t : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
11. ∀t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
12. t' : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
13. t ≡ t'
14. y : B."Point"
15. (f t) = (inr y ) ∈ Point(A + B)
16. y1 : B."Point"
17. (f t') = (inr y1 ) ∈ Point(A + B)
18. inr y  ≡ inr y1 
19. True
20. True
⊢ y ≡ y1

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SeparationSpace
2.  B  :  SeparationSpace
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}    {}\mrightarrow{}  Point(A  +  B)
4.  \mforall{}t,t':\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .    (t  \mequiv{}  t'  {}\mRightarrow{}  f  t  \mequiv{}  f  t')
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isl(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})
6.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isr(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    isl(f@x)  =  isl(f@y)
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x))
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x))
10.  t  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
11.  \mforall{}t':\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (t  \mequiv{}  t'  {}\mRightarrow{}  f  t  \mequiv{}  f  t')
12.  t'  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
13.  t  \mequiv{}  t'
14.  f  t  \mequiv{}  f  t'
\mvdash{}  outr(f  t)  \mequiv{}  outr(f  t')


By

---

Latex:
((Assert  \muparrow{}isr(f@t)  BY
                Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (Assert  \muparrow{}isr(f@t')  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  Unfold  `path-at`  0
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}f  t\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f  t'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (RepUR  ``ss-point  union-ss  mk-ss``  -5  THEN  D  -5  THEN  Reduce  0)
  THEN  RepUR  ``ss-point  union-ss  mk-ss``  -3
  THEN  D  -3
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto)

---

Home Index