---

Step * 2 2 2 1 1 1 2 1 1 of Lemma path-in-union


1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A + B)
4. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
5. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isl(f@x) ∈ 𝔹)
6. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (isr(f@x) ∈ 𝔹)
7. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [r0, r1]} .  isl(f@x) = isl(f@y)
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
9. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))
10. t : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
11. ∀t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
12. t' : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
13. t ≡ t'
14. y : B."Point"
15. (f t) = (inr y ) ∈ Point(A + B)
16. y1 : B."Point"
17. (f t') = (inr y1 ) ∈ Point(A + B)
18. inr y  ≡ inr y1 
19. True
20. True
⊢ y ≡ y1
BY
{ (RepUR ``ss-eq ss-sep union-ss mk-ss union-sep`` -3
   THEN RepUR ``ss-eq ss-sep union-ss mk-ss union-sep`` 0
   THEN Trivial) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SeparationSpace
2.  B  :  SeparationSpace
3.  f  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}    {}\mrightarrow{}  Point(A  +  B)
4.  \mforall{}t,t':\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .    (t  \mequiv{}  t'  {}\mRightarrow{}  f  t  \mequiv{}  f  t')
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isl(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})
6.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (isr(f@x)  \mmember{}  \mBbbB{})
7.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r0,  r1]\}  .    isl(f@x)  =  isl(f@y)
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x))
9.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x))
10.  t  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
11.  \mforall{}t':\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (t  \mequiv{}  t'  {}\mRightarrow{}  f  t  \mequiv{}  f  t')
12.  t'  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
13.  t  \mequiv{}  t'
14.  y  :  B."Point"
15.  (f  t)  =  (inr  y  )
16.  y1  :  B."Point"
17.  (f  t')  =  (inr  y1  )
18.  inr  y    \mequiv{}  inr  y1 
19.  True
20.  True
\mvdash{}  y  \mequiv{}  y1


By

---

Latex:
(RepUR  ``ss-eq  ss-sep  union-ss  mk-ss  union-sep``  -3
  THEN  RepUR  ``ss-eq  ss-sep  union-ss  mk-ss  union-sep``  0
  THEN  Trivial)

---

Home Index