---

Step * 1 1 2 1 1 1 of Lemma free-DeMorgan-algebra-property


1. T : Type@i'
2. eq : EqDecider(T)@i
3. dm : DeMorganAlgebra@i'
4. eq2 : EqDecider(Point(dm))@i
5. f : T ⟶ Point(dm)@i
6. g : Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
7. (λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm))
8. ∀i:T. ((g <i>) = (f i) ∈ Point(dm))
9. ∀i:T. ((g <1-i>) = ¬(f i) ∈ Point(dm))
10. ∀h:Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
      (((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ ((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (h o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ (g = h ∈ Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)))
⊢ ∀[a:Point(free-DeMorgan-lattice(T;eq))]. ((g a) = ¬(g ¬(a)) ∈ Point(dm))
BY
{ (RepUR ``free-DeMorgan-algebra dma-neg mk-DeMorgan-algebra`` 0
   THEN Fold `dma-neg` 0
   THEN InstHyp [⌜λa.¬(g ¬(a))⌝] (-1)⋅) }

1
.....wf..... 
1. T : Type@i'
2. eq : EqDecider(T)@i
3. dm : DeMorganAlgebra@i'
4. eq2 : EqDecider(Point(dm))@i
5. f : T ⟶ Point(dm)@i
6. g : Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
7. (λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm))
8. ∀i:T. ((g <i>) = (f i) ∈ Point(dm))
9. ∀i:T. ((g <1-i>) = ¬(f i) ∈ Point(dm))
10. ∀h:Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
      (((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ ((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (h o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ (g = h ∈ Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)))
⊢ λa.¬(g ¬(a)) ∈ Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)

2
.....antecedent..... 
1. T : Type@i'
2. eq : EqDecider(T)@i
3. dm : DeMorganAlgebra@i'
4. eq2 : EqDecider(Point(dm))@i
5. f : T ⟶ Point(dm)@i
6. g : Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
7. (λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm))
8. ∀i:T. ((g <i>) = (f i) ∈ Point(dm))
9. ∀i:T. ((g <1-i>) = ¬(f i) ∈ Point(dm))
10. ∀h:Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
      (((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ ((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (h o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ (g = h ∈ Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)))
⊢ (λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm))

3
.....antecedent..... 
1. T : Type@i'
2. eq : EqDecider(T)@i
3. dm : DeMorganAlgebra@i'
4. eq2 : EqDecider(Point(dm))@i
5. f : T ⟶ Point(dm)@i
6. g : Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
7. (λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm))
8. ∀i:T. ((g <i>) = (f i) ∈ Point(dm))
9. ∀i:T. ((g <1-i>) = ¬(f i) ∈ Point(dm))
10. ∀h:Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
      (((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ ((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (h o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ (g = h ∈ Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)))
⊢ (λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = ((λa.¬(g ¬(a))) o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm))

4
1. T : Type@i'
2. eq : EqDecider(T)@i
3. dm : DeMorganAlgebra@i'
4. eq2 : EqDecider(Point(dm))@i
5. f : T ⟶ Point(dm)@i
6. g : Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
7. (λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm))
8. ∀i:T. ((g <i>) = (f i) ∈ Point(dm))
9. ∀i:T. ((g <1-i>) = ¬(f i) ∈ Point(dm))
10. ∀h:Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
      (((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (g o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ ((λp.case p of inl(a) => f a | inr(a) => ¬(f a)) = (h o (λx.free-dl-inc(x))) ∈ ((T + T) ⟶ Point(dm)))
      ⇒ (g = h ∈ Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)))
11. g = (λa.¬(g ¬(a))) ∈ Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
⊢ ∀[a:Point(free-DeMorgan-lattice(T;eq))]. ((g a) = ¬(g ¬(a)) ∈ Point(dm))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type@i'
2.  eq  :  EqDecider(T)@i
3.  dm  :  DeMorganAlgebra@i'
4.  eq2  :  EqDecider(Point(dm))@i
5.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(dm)@i
6.  g  :  Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
7.  (\mlambda{}p.case  p  of  inl(a)  =>  f  a  |  inr(a)  =>  \mneg{}(f  a))  =  (g  o  (\mlambda{}x.free-dl-inc(x)))
8.  \mforall{}i:T.  ((g  <i>)  =  (f  i))
9.  \mforall{}i:T.  ((g  ə-i>)  =  \mneg{}(f  i))
10.  \mforall{}h:Hom(free-DeMorgan-lattice(T;eq);dm)
            (((\mlambda{}p.case  p  of  inl(a)  =>  f  a  |  inr(a)  =>  \mneg{}(f  a))  =  (g  o  (\mlambda{}x.free-dl-inc(x))))
            {}\mRightarrow{}  ((\mlambda{}p.case  p  of  inl(a)  =>  f  a  |  inr(a)  =>  \mneg{}(f  a))  =  (h  o  (\mlambda{}x.free-dl-inc(x))))
            {}\mRightarrow{}  (g  =  h))
\mvdash{}  \mforall{}[a:Point(free-DeMorgan-lattice(T;eq))].  ((g  a)  =  \mneg{}(g  \mneg{}(a)))


By

---

Latex:
(RepUR  ``free-DeMorgan-algebra  dma-neg  mk-DeMorgan-algebra``  0
  THEN  Fold  `dma-neg`  0
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}a.\mneg{}(g  \mneg{}(a))\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{})

---

Home Index