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Step * 1 2 1 1 1 1 2 of Lemma NoBallRetraction-implies-BrouwerFPT


1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
8. ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x)
9. ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)))
10. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
11. ∀x,y:B(n).
      (req-vec(n;x;y)
      ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
         - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y))
12. ∀x,y:B(n).
      (req-vec(n;x;y)
      ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
         - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y))
13. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
14. x : B(n)
15. ||x|| = r1
⊢ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x;x)
BY
{ ((Assert ||x||^2 = r1^2 BY
          (RWO "-1" 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "real-vec-norm-squared rnexp-one" (-1) THENA Auto)
   THEN (Assert ⌜quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1) = r1⌝⋅
   THENM ((RWO  "-1" 0 THENA Auto) THEN (D 0 THEN RepUR ``real-vec-add real-vec-sub real-vec-mul`` 0) THEN Auto)
   )) }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
8. ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x)
9. ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)))
10. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
11. ∀x,y:B(n).
      (req-vec(n;x;y)
      ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
         - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y))
12. ∀x,y:B(n).
      (req-vec(n;x;y)
      ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
         - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y))
13. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
14. x : B(n)
15. ||x|| = r1
16. x⋅x = r1
⊢ quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1) = r1

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Latex:

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Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)
3.  \mforall{}x,y:B(n).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x;f  y))
4.  \mforall{}x:B(n).  f  x  \mneq{}  x
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  \mforall{}x:B(n).  (r0  <  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)
7.  \mforall{}x:B(n).  ((f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  \mleq{}  r0)
8.  \mforall{}x:B(n).  (r0  \mleq{}  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)
9.  \mforall{}x:B(n).  \mforall{}b:\mBbbR{}.    (r0  \mleq{}  ((b  *  b)  -  r(4)  *  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x  *  (f  x\mcdot{}f  x  -  r1)))
10.  \mforall{}x:B(n).  (||f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)*x  -  f  x||  =  r1)
11.  \mforall{}x,y:B(n).
            (req-vec(n;x;y)
            {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x 
                  -  r1)*x  -  f  x;f  y  +  quadratic1(y  -  f  y\mcdot{}y  -  f  y;r(2)  *  f  y\mcdot{}y  -  f  y;f  y\mcdot{}f  y  -  r1)*y  -  f  y))
12.  \mforall{}x,y:B(n).
            (req-vec(n;x;y)
            {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x 
                  -  r1)*x  -  f  x;f  y  +  quadratic1(y  -  f  y\mcdot{}y  -  f  y;r(2)  *  f  y\mcdot{}y  -  f  y;f  y\mcdot{}f  y  -  r1)*y  -  f  y))
13.  \mforall{}x:B(n).  (||f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)*x  -  f  x||  =  r1)
14.  x  :  B(n)
15.  ||x||  =  r1
\mvdash{}  req-vec(n;f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)*x  -  f  x;x)


By

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Latex:
((Assert  ||x||\^{}2  =  r1\^{}2  BY
                (RWO  "-1"  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "real-vec-norm-squared  rnexp-one"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  =  r1\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  ((RWO    "-1"  0  THENA  Auto)
                THEN  (D  0  THEN  RepUR  ``real-vec-add  real-vec-sub  real-vec-mul``  0)
                THEN  Auto)
  ))

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