---

Step * 1 2 1 1 1 1 2 1 of Lemma NoBallRetraction-implies-BrouwerFPT

.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
8. ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x)
9. ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)))
10. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
11. ∀x,y:B(n).
      (req-vec(n;x;y)
      ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
         - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y))
12. ∀x,y:B(n).
      (req-vec(n;x;y)
      ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
         - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y))
13. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
14. x : B(n)
15. ||x|| = r1
16. x⋅x = r1
⊢ quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1) = r1
BY
{ (((Assert r0 < x - f x⋅x - f x BY Auto) THEN (Assert (f x⋅f x - r1) ≤ r0 BY Auto))
   THEN (Assert r0 ≤ (((r(2) * f x⋅x - f x) * r(2) * f x⋅x - f x) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)) BY
               Auto)
   THEN RepeatFor 3 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌜(f x) = y ∈ B(n)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜x - y = v ∈ ℝ^n⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(r(2) * y⋅v) = b ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(y⋅y - r1) = c ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN GenConcl ⌜v⋅v = a ∈ ℝ⌝⋅
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. f : B(n) ⟶ B(n)
3. ∀x,y:B(n).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(n;f x;f y))
4. ∀x:B(n). f x ≠ x
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. ∀x:B(n). (r0 < x - f x⋅x - f x)
7. ∀x:B(n). ((f x⋅f x - r1) ≤ r0)
8. ∀x:B(n). (r0 ≤ x - f x⋅x - f x)
9. ∀x:B(n). ∀b:ℝ.  (r0 ≤ ((b * b) - r(4) * x - f x⋅x - f x * (f x⋅f x - r1)))
10. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
11. ∀x,y:B(n).
      (req-vec(n;x;y)
      ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
         - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y))
12. ∀x,y:B(n).
      (req-vec(n;x;y)
      ⇒ req-vec(n;f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x 
         - r1)*x - f x;f y + quadratic1(y - f y⋅y - f y;r(2) * f y⋅y - f y;f y⋅f y - r1)*y - f y))
13. ∀x:B(n). (||f x + quadratic1(x - f x⋅x - f x;r(2) * f x⋅x - f x;f x⋅f x - r1)*x - f x|| = r1)
14. x : B(n)
15. ||x|| = r1
16. x⋅x = r1
17. y : B(n)
18. (f x) = y ∈ B(n)
19. v : ℝ^n
20. x - y = v ∈ ℝ^n
21. b : ℝ
22. (r(2) * y⋅v) = b ∈ ℝ
23. c : ℝ
24. (y⋅y - r1) = c ∈ ℝ
25. a : ℝ
26. v⋅v = a ∈ ℝ
27. r0 < a
28. c ≤ r0
29. r0 ≤ ((b * b) - r(4) * a * c)
⊢ quadratic1(a;b;c) = r1

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  B(n)  {}\mrightarrow{}  B(n)
3.  \mforall{}x,y:B(n).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x;f  y))
4.  \mforall{}x:B(n).  f  x  \mneq{}  x
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  \mforall{}x:B(n).  (r0  <  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)
7.  \mforall{}x:B(n).  ((f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  \mleq{}  r0)
8.  \mforall{}x:B(n).  (r0  \mleq{}  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x)
9.  \mforall{}x:B(n).  \mforall{}b:\mBbbR{}.    (r0  \mleq{}  ((b  *  b)  -  r(4)  *  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x  *  (f  x\mcdot{}f  x  -  r1)))
10.  \mforall{}x:B(n).  (||f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)*x  -  f  x||  =  r1)
11.  \mforall{}x,y:B(n).
            (req-vec(n;x;y)
            {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x 
                  -  r1)*x  -  f  x;f  y  +  quadratic1(y  -  f  y\mcdot{}y  -  f  y;r(2)  *  f  y\mcdot{}y  -  f  y;f  y\mcdot{}f  y  -  r1)*y  -  f  y))
12.  \mforall{}x,y:B(n).
            (req-vec(n;x;y)
            {}\mRightarrow{}  req-vec(n;f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x 
                  -  r1)*x  -  f  x;f  y  +  quadratic1(y  -  f  y\mcdot{}y  -  f  y;r(2)  *  f  y\mcdot{}y  -  f  y;f  y\mcdot{}f  y  -  r1)*y  -  f  y))
13.  \mforall{}x:B(n).  (||f  x  +  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)*x  -  f  x||  =  r1)
14.  x  :  B(n)
15.  ||x||  =  r1
16.  x\mcdot{}x  =  r1
\mvdash{}  quadratic1(x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x;r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x;f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  =  r1


By

---

Latex:
(((Assert  r0  <  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x  BY  Auto)  THEN  (Assert  (f  x\mcdot{}f  x  -  r1)  \mleq{}  r0  BY  Auto))
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  (((r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x)  *  r(2)  *  f  x\mcdot{}x  -  f  x)  -  r(4)
                          *  x  -  f  x\mcdot{}x  -  f  x
                          *  (f  x\mcdot{}f  x  -  r1))  BY
                          Auto)
  THEN  RepeatFor  3  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(f  x)  =  y\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}x  -  y  =  v\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(r(2)  *  y\mcdot{}v)  =  b\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(y\mcdot{}y  -  r1)  =  c\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  GenConcl  \mkleeneopen{}v\mcdot{}v  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index