---

Step * 1 1 1 of Lemma comparison-test


1. y : ℕ ⟶ ℝ@i
2. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Σ{y[i] | 0≤i≤n} - Σ{y[i] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))))])
3. x : ℕ ⟶ ℝ@i
4. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ y[n])
5. k : ℕ+
6. N : ℕ
7. ∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Σ{y[i] | 0≤i≤n} - Σ{y[i] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k))))
⊢ ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (∀m:ℕ. (Σ{y[i] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k)))))
BY
{ (ParallelLast THEN (D 0 THENA Auto) THEN ParallelOp -2 THEN (Decide N ≤ m THENA Auto) THEN ThinTrivial) }

1
1. y : ℕ ⟶ ℝ@i
2. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Σ{y[i] | 0≤i≤n} - Σ{y[i] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))))])
3. x : ℕ ⟶ ℝ@i
4. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ y[n])
5. k : ℕ+
6. N : ℕ
7. n : ℕ
8. ∀m:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Σ{y[i] | 0≤i≤n} - Σ{y[i] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k))))
9. N ≤ n
10. m : ℕ
11. N ≤ m
12. |Σ{y[i] | 0≤i≤n} - Σ{y[i] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k))
⊢ Σ{y[i] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k))

2
1. y : ℕ ⟶ ℝ@i
2. ∀k:ℕ+. (∃N:ℕ [(∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Σ{y[i] | 0≤i≤n} - Σ{y[i] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k)))))])
3. x : ℕ ⟶ ℝ@i
4. ∀n:ℕ. (|x[n]| ≤ y[n])
5. k : ℕ+
6. N : ℕ
7. n : ℕ
8. ∀m:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|Σ{y[i] | 0≤i≤n} - Σ{y[i] | 0≤i≤m}| ≤ (r1/r(k))))
9. N ≤ n
10. m : ℕ
11. ¬(N ≤ m)
⊢ Σ{y[i] | n + 1≤i≤m} ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  y  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}@i
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}
          (\mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  \mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}|  \mleq{}  (r1/r(k)))))])
3.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}@i
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[n]|  \mleq{}  y[n])
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  \mSigma{}\{y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}|  \mleq{}  (r1/r(k))))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  (\mSigma{}\{y[i]  |  n  +  1\mleq{}i\mleq{}m\}  \mleq{}  (r1/r(k)))))


By

---

Latex:
(ParallelLast
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  ParallelOp  -2
  THEN  (Decide  N  \mleq{}  m  THENA  Auto)
  THEN  ThinTrivial)

---

Home Index