---

Step * 1 of Lemma infn_functionality


1. ∀n1:ℕ
     (∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n1 ⟶ ℝ.
        ((∀x,y:I^n1.  (req-vec(n1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
        ⇒ (∀x:I^n1. ((f x) = (g x)))
        ⇒ ((infn(n1;I) f) = (infn(n1;I) g))) ∈ ℙ)
⊢ ∀n:ℕ. ∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n ⟶ ℝ.
    ((∀x,y:I^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ ((f x) = (f y)))) ⇒ (∀x:I^n. ((f x) = (g x))) ⇒ ((infn(n;I) f) = (infn(n;I) g)))
BY
{ InductionOnNat }

1
.....basecase..... 
1. ∀n1:ℕ
     (∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n1 ⟶ ℝ.
        ((∀x,y:I^n1.  (req-vec(n1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
        ⇒ (∀x:I^n1. ((f x) = (g x)))
        ⇒ ((infn(n1;I) f) = (infn(n1;I) g))) ∈ ℙ)
⊢ ∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^0 ⟶ ℝ.
    ((∀x,y:I^0.  (req-vec(0;x;y) ⇒ ((f x) = (f y)))) ⇒ (∀x:I^0. ((f x) = (g x))) ⇒ ((infn(0;I) f) = (infn(0;I) g)))

2
.....upcase..... 
1. ∀n1:ℕ
     (∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n1 ⟶ ℝ.
        ((∀x,y:I^n1.  (req-vec(n1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
        ⇒ (∀x:I^n1. ((f x) = (g x)))
        ⇒ ((infn(n1;I) f) = (infn(n1;I) g))) ∈ ℙ)
2. n : ℤ
3. [%2] : 0 < n
4. ∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n - 1 ⟶ ℝ.
     ((∀x,y:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
     ⇒ (∀x:I^n - 1. ((f x) = (g x)))
     ⇒ ((infn(n - 1;I) f) = (infn(n - 1;I) g)))
⊢ ∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n ⟶ ℝ.
    ((∀x,y:I^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ ((f x) = (f y)))) ⇒ (∀x:I^n. ((f x) = (g x))) ⇒ ((infn(n;I) f) = (infn(n;I) g)))

3
.....wf..... 
1. ∀n1:ℕ
     (∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n1 ⟶ ℝ.
        ((∀x,y:I^n1.  (req-vec(n1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
        ⇒ (∀x:I^n1. ((f x) = (g x)))
        ⇒ ((infn(n1;I) f) = (infn(n1;I) g))) ∈ ℙ)
2. n : ℤ
3. 0 < n
⊢ istype(∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n - 1 ⟶ ℝ.
           ((∀x,y:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
           ⇒ (∀x:I^n - 1. ((f x) = (g x)))
           ⇒ ((infn(n - 1;I) f) = (infn(n - 1;I) g))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}n1:\mBbbN{}
          (\mforall{}I:\{I:Interval|  icompact(I)\}  .  \mforall{}f,g:I\^{}n1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
                ((\mforall{}x,y:I\^{}n1.    (req-vec(n1;x;y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y))))
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:I\^{}n1.  ((f  x)  =  (g  x)))
                {}\mRightarrow{}  ((infn(n1;I)  f)  =  (infn(n1;I)  g)))  \mmember{}  \mBbbP{})
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}I:\{I:Interval|  icompact(I)\}  .  \mforall{}f,g:I\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
        ((\mforall{}x,y:I\^{}n.    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y))))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:I\^{}n.  ((f  x)  =  (g  x)))
        {}\mRightarrow{}  ((infn(n;I)  f)  =  (infn(n;I)  g)))


By

---

Latex:
InductionOnNat

---

Home Index