---

Step * 1 2 1 of Lemma infn_functionality


1. ∀n1:ℕ
     (∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n1 ⟶ ℝ.
        ((∀x,y:I^n1.  (req-vec(n1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
        ⇒ (∀x:I^n1. ((f x) = (g x)))
        ⇒ ((infn(n1;I) f) = (infn(n1;I) g))) ∈ ℙ)
2. n : ℤ
3. [%2] : 0 < n
4. ∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n - 1 ⟶ ℝ.
     ((∀x,y:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
     ⇒ (∀x:I^n - 1. ((f x) = (g x)))
     ⇒ ((infn(n - 1;I) f) = (infn(n - 1;I) g)))
5. I : {I:Interval| icompact(I)} 
6. f : I^n ⟶ ℝ
7. g : I^n ⟶ ℝ
8. ∀x,y:I^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ ((f x) = (f y)))
9. ∀x:I^n. ((f x) = (g x))
⊢ (if n <z 1 then λf.(f ⋅) else λf.inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} fi  f)
= (if n <z 1 then λf.(f ⋅) else λf.inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} fi  g)
BY
{ ((Assert 0 < n BY
          Auto)
   THEN (OReduce 0 THENA Auto)
   THEN Assert ⌜∀z:{x:ℝ| x ∈ I} 
                  (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. ∀n1:ℕ
     (∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n1 ⟶ ℝ.
        ((∀x,y:I^n1.  (req-vec(n1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
        ⇒ (∀x:I^n1. ((f x) = (g x)))
        ⇒ ((infn(n1;I) f) = (infn(n1;I) g))) ∈ ℙ)
2. n : ℤ
3. [%2] : 0 < n
4. ∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n - 1 ⟶ ℝ.
     ((∀x,y:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
     ⇒ (∀x:I^n - 1. ((f x) = (g x)))
     ⇒ ((infn(n - 1;I) f) = (infn(n - 1;I) g)))
5. I : {I:Interval| icompact(I)} 
6. f : I^n ⟶ ℝ
7. g : I^n ⟶ ℝ
8. ∀x,y:I^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ ((f x) = (f y)))
9. ∀x:I^n. ((f x) = (g x))
10. 0 < n
⊢ ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )

2
1. ∀n1:ℕ
     (∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n1 ⟶ ℝ.
        ((∀x,y:I^n1.  (req-vec(n1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
        ⇒ (∀x:I^n1. ((f x) = (g x)))
        ⇒ ((infn(n1;I) f) = (infn(n1;I) g))) ∈ ℙ)
2. n : ℤ
3. [%2] : 0 < n
4. ∀I:{I:Interval| icompact(I)} . ∀f,g:I^n - 1 ⟶ ℝ.
     ((∀x,y:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;x;y) ⇒ ((f x) = (f y))))
     ⇒ (∀x:I^n - 1. ((f x) = (g x)))
     ⇒ ((infn(n - 1;I) f) = (infn(n - 1;I) g)))
5. I : {I:Interval| icompact(I)} 
6. f : I^n ⟶ ℝ
7. g : I^n ⟶ ℝ
8. ∀x,y:I^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ ((f x) = (f y)))
9. ∀x:I^n. ((f x) = (g x))
10. 0 < n
11. ∀z:{x:ℝ| x ∈ I} . (λa.(f a++z) ∈ {f:I^n - 1 ⟶ ℝ| ∀a,b:I^n - 1.  (req-vec(n - 1;a;b) ⇒ ((f a) = (f b)))} )
⊢ inf{infn(n - 1;I) (λa.(f a++z)) | z ∈ I} = inf{infn(n - 1;I) (λa.(g a++z)) | z ∈ I}

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}n1:\mBbbN{}
          (\mforall{}I:\{I:Interval|  icompact(I)\}  .  \mforall{}f,g:I\^{}n1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
                ((\mforall{}x,y:I\^{}n1.    (req-vec(n1;x;y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y))))
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:I\^{}n1.  ((f  x)  =  (g  x)))
                {}\mRightarrow{}  ((infn(n1;I)  f)  =  (infn(n1;I)  g)))  \mmember{}  \mBbbP{})
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  [\%2]  :  0  <  n
4.  \mforall{}I:\{I:Interval|  icompact(I)\}  .  \mforall{}f,g:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
          ((\mforall{}x,y:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;x;y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y))))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:I\^{}n  -  1.  ((f  x)  =  (g  x)))
          {}\mRightarrow{}  ((infn(n  -  1;I)  f)  =  (infn(n  -  1;I)  g)))
5.  I  :  \{I:Interval|  icompact(I)\} 
6.  f  :  I\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
7.  g  :  I\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x,y:I\^{}n.    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
9.  \mforall{}x:I\^{}n.  ((f  x)  =  (g  x))
\mvdash{}  (if  n  <z  1  then  \mlambda{}f.(f  \mcdot{})  else  \mlambda{}f.inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}  fi    f)
=  (if  n  <z  1  then  \mlambda{}f.(f  \mcdot{})  else  \mlambda{}f.inf\{infn(n  -  1;I)  (\mlambda{}a.(f  a++z))  |  z  \mmember{}  I\}  fi    g)


By

---

Latex:
((Assert  0  <  n  BY
                Auto)
  THEN  (OReduce  0  THENA  Auto)
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}z:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
                                (\mlambda{}a.(f  a++z)  \mmember{}  \{f:I\^{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}| 
                                                                \mforall{}a,b:I\^{}n  -  1.    (req-vec(n  -  1;a;b)  {}\mRightarrow{}  ((f  a)  =  (f  b)))\}  )\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index