---

Step * 2 1 1 of Lemma interval-totally-bounded


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. k : ℕ+
6. (b - a/r(k)) < e
7. λx.(x ∈ [a, b]) ∈ Set(ℝ)
8. r0 < (b - a)
⊢ ∃a@0:ℕk + 1 ⟶ ℝ
   ((∀i:ℕk + 1. (a@0 i ∈ λx.(x ∈ [a, b]))) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ λx.(x ∈ [a, b])) ⇒ (∃i:ℕk + 1. (|x - a@0 i| < e)))))
BY
{ Assert  ⌜∃f:ℕk + 1 ⟶ ℝ
            ((∀i:ℕk + 1. (f i ∈ λx.(x ∈ [a, b])))
            ∧ ((f 0) = a)
            ∧ ((f k) = b)
            ∧ (∀i:ℕk. (((f i) < (f (i + 1))) ∧ ((f (i + 1)) < ((f i) + e)))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. k : ℕ+
6. (b - a/r(k)) < e
7. λx.(x ∈ [a, b]) ∈ Set(ℝ)
8. r0 < (b - a)
⊢ ∃f:ℕk + 1 ⟶ ℝ
   ((∀i:ℕk + 1. (f i ∈ λx.(x ∈ [a, b])))
   ∧ ((f 0) = a)
   ∧ ((f k) = b)
   ∧ (∀i:ℕk. (((f i) < (f (i + 1))) ∧ ((f (i + 1)) < ((f i) + e)))))

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. k : ℕ+
6. (b - a/r(k)) < e
7. λx.(x ∈ [a, b]) ∈ Set(ℝ)
8. r0 < (b - a)
9. ∃f:ℕk + 1 ⟶ ℝ
    ((∀i:ℕk + 1. (f i ∈ λx.(x ∈ [a, b])))
    ∧ ((f 0) = a)
    ∧ ((f k) = b)
    ∧ (∀i:ℕk. (((f i) < (f (i + 1))) ∧ ((f (i + 1)) < ((f i) + e)))))
⊢ ∃a@0:ℕk + 1 ⟶ ℝ
   ((∀i:ℕk + 1. (a@0 i ∈ λx.(x ∈ [a, b]))) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ λx.(x ∈ [a, b])) ⇒ (∃i:ℕk + 1. (|x - a@0 i| < e)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  e  :  \mBbbR{}
4.  r0  <  e
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  (b  -  a/r(k))  <  e
7.  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b])  \mmember{}  Set(\mBbbR{})
8.  r0  <  (b  -  a)
\mvdash{}  \mexists{}a@0:\mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
      ((\mforall{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (a@0  i  \mmember{}  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b])))
      \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b]))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (|x  -  a@0  i|  <  e)))))


By

---

Latex:
Assert    \mkleeneopen{}\mexists{}f:\mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
                    ((\mforall{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (f  i  \mmember{}  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b])))
                    \mwedge{}  ((f  0)  =  a)
                    \mwedge{}  ((f  k)  =  b)
                    \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((f  i)  <  (f  (i  +  1)))  \mwedge{}  ((f  (i  +  1))  <  ((f  i)  +  e)))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index