---

Step * 2 1 1 1 of Lemma interval-totally-bounded

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. k : ℕ+
6. (b - a/r(k)) < e
7. λx.(x ∈ [a, b]) ∈ Set(ℝ)
8. r0 < (b - a)
⊢ ∃f:ℕk + 1 ⟶ ℝ
   ((∀i:ℕk + 1. (f i ∈ λx.(x ∈ [a, b])))
   ∧ ((f 0) = a)
   ∧ ((f k) = b)
   ∧ (∀i:ℕk. (((f i) < (f (i + 1))) ∧ ((f (i + 1)) < ((f i) + e)))))
BY
{ (D 0 With ⌜λj.((r(k - j) * a) + (r(j) * b)/r(k))⌝  THEN Reduce 0 THEN Auto THEN Try ((nRMul ⌜r(k)⌝ 0⋅ THEN Auto))) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. k : ℕ+
6. (b - a/r(k)) < e
7. λx.(x ∈ [a, b]) ∈ Set(ℝ)
8. r0 < (b - a)
9. i : ℕk + 1
⊢ ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ λx.((a ≤ x) ∧ (x ≤ b))

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. e : ℝ
4. r0 < e
5. k : ℕ+
6. (b - a/r(k)) < e
7. λx.(x ∈ [a, b]) ∈ Set(ℝ)
8. r0 < (b - a)
9. ∀i:ℕk + 1. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ λx.((a ≤ x) ∧ (x ≤ b)))
10. ((r(k - 0) * a) + (r0 * b)/r(k)) = a
11. ((r(k - k) * a) + (r(k) * b)/r(k)) = b
12. i : ℕk
13. ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) < ((r(k - i + 1) * a) + (r(i + 1) * b)/r(k))
⊢ (-(a) + b + -(r(i) * a) + (r(i) * b) + (r(k) * a)) < (-(r(i) * a) + (r(i) * b) + (r(k) * a) + (r(k) * e))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  e  :  \mBbbR{}
4.  r0  <  e
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  (b  -  a/r(k))  <  e
7.  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b])  \mmember{}  Set(\mBbbR{})
8.  r0  <  (b  -  a)
\mvdash{}  \mexists{}f:\mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
      ((\mforall{}i:\mBbbN{}k  +  1.  (f  i  \mmember{}  \mlambda{}x.(x  \mmember{}  [a,  b])))
      \mwedge{}  ((f  0)  =  a)
      \mwedge{}  ((f  k)  =  b)
      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((f  i)  <  (f  (i  +  1)))  \mwedge{}  ((f  (i  +  1))  <  ((f  i)  +  e)))))


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}j.((r(k  -  j)  *  a)  +  (r(j)  *  b)/r(k))\mkleeneclose{} 
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((nRMul  \mkleeneopen{}r(k)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)))

---

Home Index