---

Step * 1 2 2 1 of Lemma near-root-rational

.....assertion..... 
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
⊢ |a| = if p <z 0 then -a else a fi  ∈ ℤ
BY
{ ((RWO "absval_unfold" 0 THENA Auto) THEN HypSubst' 13 0 THEN AutoBoolCase⌜s⌝⋅ THEN RepeatFor 2 (AutoSplit))⋅ }

1
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
8. b : ℕ+
9. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
10. c : ℕ+
11. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
12. a : ℤ
13. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
14. d : ℕ+
15. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
16. x : ℕ
17. y : ℕ+
18. |a| * y^k < (x * b)^k
19. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
20. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
21. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
22. ↑s
23. -1 < p * 2 * c
24. p < 0
⊢ (p * 2 * c) = (-(p * 2 * c)) ∈ ℤ

2
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. ¬p < 0
4. q : ℕ+
5. n : ℕ+
6. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
7. s : 𝔹
8. s = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
9. b : ℕ+
10. b = if s then 2 else q * n fi  ∈ ℕ+
11. c : ℕ+
12. ¬-1 < p * 2 * c
13. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
14. a : ℤ
15. a = if s then p * 2 * c else p * n * c fi  ∈ ℤ
16. d : ℕ+
17. d = (if s then 2 * c else c fi  - 1) ∈ ℕ+
18. x : ℕ
19. y : ℕ+
20. |a| * y^k < (x * b)^k
21. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
22. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ x)
23. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ x
24. ↑s
⊢ (-(p * 2 * c)) = (p * 2 * c) ∈ ℤ

3
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. q : ℕ+
4. n : ℕ+
5. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
6. s : 𝔹
7. ¬↑s
8. ff = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
9. b : ℕ+
10. b = (q * n) ∈ ℕ+
11. c : ℕ+
12. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
13. a : ℤ
14. a = (p * n * c) ∈ ℤ
15. d : ℕ+
16. d = (c - 1) ∈ ℕ+
17. x : ℕ
18. y : ℕ+
19. |a| * y^k < (x * b)^k
20. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
21. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi )
22. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ if p <z 0 then -x else x fi 
23. -1 < p * n * c
24. p < 0
⊢ (p * n * c) = (-(p * n * c)) ∈ ℤ

4
1. k : {2...}
2. p : ℤ
3. ¬p < 0
4. q : ℕ+
5. n : ℕ+
6. (0 ≤ p) ∨ (↑isOdd(k))
7. s : 𝔹
8. ¬↑s
9. ff = (q =z 1) ∧b (n =z 1)
10. b : ℕ+
11. b = (q * n) ∈ ℕ+
12. c : ℕ+
13. ¬-1 < p * n * c
14. c = b^(k - 1) ∈ ℕ+
15. a : ℤ
16. a = (p * n * c) ∈ ℤ
17. d : ℕ+
18. d = (c - 1) ∈ ℕ+
19. x : ℕ
20. y : ℕ+
21. |a| * y^k < (x * b)^k
22. (x * b)^k ≤ ((|a| + d) * y^k)
23. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ x)
24. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ x
⊢ (-(p * n * c)) = (p * n * c) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  k  :  \{2...\}
2.  p  :  \mBbbZ{}
3.  q  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (0  \mleq{}  p)  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(k))
6.  s  :  \mBbbB{}
7.  s  =  (q  =\msubz{}  1)  \mwedge{}\msubb{}  (n  =\msubz{}  1)
8.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  b  =  if  s  then  2  else  q  *  n  fi 
10.  c  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  c  =  b\^{}(k  -  1)
12.  a  :  \mBbbZ{}
13.  a  =  if  s  then  p  *  2  *  c  else  p  *  n  *  c  fi 
14.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  d  =  (if  s  then  2  *  c  else  c  fi    -  1)
16.  x  :  \mBbbN{}
17.  y  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  |a|  *  y\^{}k  <  (x  *  b)\^{}k
19.  (x  *  b)\^{}k  \mleq{}  ((|a|  +  d)  *  y\^{}k)
20.  (0  \mleq{}  p)  {}\mRightarrow{}  (0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi  )
21.  (0  \mleq{}  p)  \mLeftarrow{}{}  0  \mleq{}  if  p  <z  0  then  -x  else  x  fi 
\mvdash{}  |a|  =  if  p  <z  0  then  -a  else  a  fi 


By

---

Latex:
((RWO  "absval\_unfold"  0  THENA  Auto)
  THEN  HypSubst'  13  0
  THEN  AutoBoolCase\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  RepeatFor  2  (AutoSplit))\mcdot{}

---

Home Index