---

Step * 1 1 2 1 3 6 1 1 1 of Lemma partition-refinement-sum


1. I : Interval@i
2. icompact(I)@i
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
6. K : ℕ
7. ∀K:ℕK. ∀J:Interval.
     (icompact(J)
     ⇒ J ⊆ I 
     ⇒ (∀q:partition(J)
           ((||q|| ≤ K)
           ⇒ (∀n:ℕ+
                 ((partition-mesh(J;q) ≤ (mc 1 n))
                 ⇒ frs-increasing(q)
                 ⇒ (∀p:partition(J). ∀x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                     ∀y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                       (p refines q
                       ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                          - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)))))))))
8. J : Interval@i
9. icompact(J)@i
10. J ⊆ I @i
11. u : ℝ
12. v : ℝ List
13. partitions(J;[u / v])@i
14. ||[u / v]|| ≤ K@i
15. n : ℕ+@i
16. partition-mesh(J;[u / v]) ≤ (mc 1 n)@i
17. frs-increasing([u / v])@i
18. p : partition(J)@i
19. x : partition-choice(full-partition(J;p))@i
20. y : partition-choice(full-partition(J;[u / v]))@i
21. p refines [u / v]@i
22. partitions([left-endpoint(J), u];[])
23. partitions([u, right-endpoint(J)];v)
24. left-endpoint(J) ≤ u
25. u ≤ right-endpoint(J)
26. partition-mesh([left-endpoint(J), u];[]) ≤ partition-mesh(J;[u / v])
27. partition-mesh([u, right-endpoint(J)];v) ≤ partition-mesh(J;[u / v])
28. u ∈ J
29. left-endpoint(J) ∈ J
30. right-endpoint(J) ∈ J
31. ∀p:partition([u, right-endpoint(J)]). ∀x:partition-choice(full-partition([u, right-endpoint(J)];p)).
    ∀y:partition-choice(full-partition([u, right-endpoint(J)];v)).
      (p refines v
      ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition([u, right-endpoint(J)];v)) 
         - partition-sum(f;x;full-partition([u, right-endpoint(J)];p))| ≤ ((r1/r(n)) * |[u, right-endpoint(J)]|)))
32. ∀p:partition([left-endpoint(J), u]). ∀x:partition-choice(full-partition([left-endpoint(J), u];p)).
    ∀y:partition-choice(full-partition([left-endpoint(J), u];[])).
      (p refines []
      ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition([left-endpoint(J), u];[])) 
         - partition-sum(f;x;full-partition([left-endpoint(J), u];p))| ≤ ((r1/r(n)) * |[left-endpoint(J), u]|)))
33. q : partition([left-endpoint(J), u])
34. r : partition([u, right-endpoint(J)])
35. q refines []
36. r refines v
37. x1 : ℝ
38. x1 = u
39. p = (q @ [x1 / r]) ∈ (ℝ List)
40. ||r|| + ||q|| < ||p||
41. is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(J), u];q);x)
∧ is-partition-choice(full-partition([u, right-endpoint(J)];r);λi.(x (i + ||q|| + 1)))
42. icompact([left-endpoint(J), u]) ∧ icompact([u, right-endpoint(J)])
43. (||r|| + ||q|| + 1) + 1 < ||full-partition(J;p)||
⊢ |partition-sum(f;y;full-partition(J;[u / v])) - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)
BY
{ ((Assert λi.(x (i + ||q|| + 1)) ∈ partition-choice(full-partition([u, right-endpoint(J)];r)) BY
          (SubsumeC ⌜{f:ℕ||full-partition([u, right-endpoint(J)];r)|| - 1 ⟶ ℝ| 
                      is-partition-choice(full-partition([u, right-endpoint(J)];r);f)} ⌝⋅
           THEN Try ((BLemma `partition-choice-subtype` THEN Auto))
           THEN MemTypeCD
           THEN Try (QuickAuto)
           THEN RepUR ``full-partition`` 0
           THEN (RWO "length-append" 0 THENA Auto)
           THEN Reduce 0
           THEN Auto'))
   THEN (Assert x ∈ partition-choice(full-partition([left-endpoint(J), u];q)) BY
               (SubsumeC ⌜{f:ℕ||full-partition([left-endpoint(J), u];q)|| - 1 ⟶ ℝ| 
                           is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(J), u];q);f)} ⌝⋅
                THEN Try ((BLemma `partition-choice-subtype` THEN Auto))
                THEN MemTypeCD
                THEN Try (QuickAuto)
                THEN RepUR ``full-partition`` 0
                THEN (RWO "length-append" 0 THENA Auto)
                THEN Reduce 0
                THEN Auto'))
   ) }

1
1. I : Interval@i
2. icompact(I)@i
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. ∀m,n:ℕ+.
     (mc m n ∈ {d:ℝ| (r0 < d) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(n)))))} )
6. K : ℕ
7. ∀K:ℕK. ∀J:Interval.
     (icompact(J)
     ⇒ J ⊆ I 
     ⇒ (∀q:partition(J)
           ((||q|| ≤ K)
           ⇒ (∀n:ℕ+
                 ((partition-mesh(J;q) ≤ (mc 1 n))
                 ⇒ frs-increasing(q)
                 ⇒ (∀p:partition(J). ∀x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                     ∀y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                       (p refines q
                       ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                          - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)))))))))
8. J : Interval@i
9. icompact(J)@i
10. J ⊆ I @i
11. u : ℝ
12. v : ℝ List
13. partitions(J;[u / v])@i
14. ||[u / v]|| ≤ K@i
15. n : ℕ+@i
16. partition-mesh(J;[u / v]) ≤ (mc 1 n)@i
17. frs-increasing([u / v])@i
18. p : partition(J)@i
19. x : partition-choice(full-partition(J;p))@i
20. y : partition-choice(full-partition(J;[u / v]))@i
21. p refines [u / v]@i
22. partitions([left-endpoint(J), u];[])
23. partitions([u, right-endpoint(J)];v)
24. left-endpoint(J) ≤ u
25. u ≤ right-endpoint(J)
26. partition-mesh([left-endpoint(J), u];[]) ≤ partition-mesh(J;[u / v])
27. partition-mesh([u, right-endpoint(J)];v) ≤ partition-mesh(J;[u / v])
28. u ∈ J
29. left-endpoint(J) ∈ J
30. right-endpoint(J) ∈ J
31. ∀p:partition([u, right-endpoint(J)]). ∀x:partition-choice(full-partition([u, right-endpoint(J)];p)).
    ∀y:partition-choice(full-partition([u, right-endpoint(J)];v)).
      (p refines v
      ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition([u, right-endpoint(J)];v)) 
         - partition-sum(f;x;full-partition([u, right-endpoint(J)];p))| ≤ ((r1/r(n)) * |[u, right-endpoint(J)]|)))
32. ∀p:partition([left-endpoint(J), u]). ∀x:partition-choice(full-partition([left-endpoint(J), u];p)).
    ∀y:partition-choice(full-partition([left-endpoint(J), u];[])).
      (p refines []
      ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition([left-endpoint(J), u];[])) 
         - partition-sum(f;x;full-partition([left-endpoint(J), u];p))| ≤ ((r1/r(n)) * |[left-endpoint(J), u]|)))
33. q : partition([left-endpoint(J), u])
34. r : partition([u, right-endpoint(J)])
35. q refines []
36. r refines v
37. x1 : ℝ
38. x1 = u
39. p = (q @ [x1 / r]) ∈ (ℝ List)
40. ||r|| + ||q|| < ||p||
41. is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(J), u];q);x)
∧ is-partition-choice(full-partition([u, right-endpoint(J)];r);λi.(x (i + ||q|| + 1)))
42. icompact([left-endpoint(J), u]) ∧ icompact([u, right-endpoint(J)])
43. (||r|| + ||q|| + 1) + 1 < ||full-partition(J;p)||
44. λi.(x (i + ||q|| + 1)) ∈ partition-choice(full-partition([u, right-endpoint(J)];r))
45. x ∈ partition-choice(full-partition([left-endpoint(J), u];q))
⊢ |partition-sum(f;y;full-partition(J;[u / v])) - partition-sum(f;x;full-partition(J;p))| ≤ ((r1/r(n)) * |J|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval@i
2.  icompact(I)@i
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
5.  \mforall{}m,n:\mBbbN{}\msupplus{}.
          (mc  m  n  \mmember{}  \{d:\mBbbR{}| 
                                (r0  <  d)
                                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(n)))))\}  )
6.  K  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}K:\mBbbN{}K.  \mforall{}J:Interval.
          (icompact(J)
          {}\mRightarrow{}  J  \msubseteq{}  I 
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}q:partition(J)
                      ((||q||  \mleq{}  K)
                      {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}
                                  ((partition-mesh(J;q)  \mleq{}  (mc  1  n))
                                  {}\mRightarrow{}  frs-increasing(q)
                                  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}p:partition(J).  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(J;p)).
                                          \mforall{}y:partition-choice(full-partition(J;q)).
                                              (p  refines  q
                                              {}\mRightarrow{}  (|partition-sum(f;y;full-partition(J;q)) 
                                                    -  partition-sum(f;x;full-partition(J;p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))  *  |J|)))))))))
8.  J  :  Interval@i
9.  icompact(J)@i
10.  J  \msubseteq{}  I  @i
11.  u  :  \mBbbR{}
12.  v  :  \mBbbR{}  List
13.  partitions(J;[u  /  v])@i
14.  ||[u  /  v]||  \mleq{}  K@i
15.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
16.  partition-mesh(J;[u  /  v])  \mleq{}  (mc  1  n)@i
17.  frs-increasing([u  /  v])@i
18.  p  :  partition(J)@i
19.  x  :  partition-choice(full-partition(J;p))@i
20.  y  :  partition-choice(full-partition(J;[u  /  v]))@i
21.  p  refines  [u  /  v]@i
22.  partitions([left-endpoint(J),  u];[])
23.  partitions([u,  right-endpoint(J)];v)
24.  left-endpoint(J)  \mleq{}  u
25.  u  \mleq{}  right-endpoint(J)
26.  partition-mesh([left-endpoint(J),  u];[])  \mleq{}  partition-mesh(J;[u  /  v])
27.  partition-mesh([u,  right-endpoint(J)];v)  \mleq{}  partition-mesh(J;[u  /  v])
28.  u  \mmember{}  J
29.  left-endpoint(J)  \mmember{}  J
30.  right-endpoint(J)  \mmember{}  J
31.  \mforall{}p:partition([u,  right-endpoint(J)]).
        \mforall{}x:partition-choice(full-partition([u,  right-endpoint(J)];p)).
        \mforall{}y:partition-choice(full-partition([u,  right-endpoint(J)];v)).
            (p  refines  v
            {}\mRightarrow{}  (|partition-sum(f;y;full-partition([u,  right-endpoint(J)];v)) 
                  -  partition-sum(f;x;full-partition([u,  right-endpoint(J)];p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))
                  *  |[u,  right-endpoint(J)]|)))
32.  \mforall{}p:partition([left-endpoint(J),  u]).
        \mforall{}x:partition-choice(full-partition([left-endpoint(J),  u];p)).
        \mforall{}y:partition-choice(full-partition([left-endpoint(J),  u];[])).
            (p  refines  []
            {}\mRightarrow{}  (|partition-sum(f;y;full-partition([left-endpoint(J),  u];[])) 
                  -  partition-sum(f;x;full-partition([left-endpoint(J),  u];p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))
                  *  |[left-endpoint(J),  u]|)))
33.  q  :  partition([left-endpoint(J),  u])
34.  r  :  partition([u,  right-endpoint(J)])
35.  q  refines  []
36.  r  refines  v
37.  x1  :  \mBbbR{}
38.  x1  =  u
39.  p  =  (q  @  [x1  /  r])
40.  ||r||  +  ||q||  <  ||p||
41.  is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(J),  u];q);x)
\mwedge{}  is-partition-choice(full-partition([u,  right-endpoint(J)];r);\mlambda{}i.(x  (i  +  ||q||  +  1)))
42.  icompact([left-endpoint(J),  u])  \mwedge{}  icompact([u,  right-endpoint(J)])
43.  (||r||  +  ||q||  +  1)  +  1  <  ||full-partition(J;p)||
\mvdash{}  |partition-sum(f;y;full-partition(J;[u  /  v])) 
-  partition-sum(f;x;full-partition(J;p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))  *  |J|)


By

---

Latex:
((Assert  \mlambda{}i.(x  (i  +  ||q||  +  1))  \mmember{}  partition-choice(full-partition([u,  right-endpoint(J)];r))  BY
                (SubsumeC  \mkleeneopen{}\{f:\mBbbN{}||full-partition([u,  right-endpoint(J)];r)||  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}| 
                                        is-partition-choice(full-partition([u,  right-endpoint(J)];r);f)\}  \mkleeneclose{}\mcdot{}
                  THEN  Try  ((BLemma  `partition-choice-subtype`  THEN  Auto))
                  THEN  MemTypeCD
                  THEN  Try  (QuickAuto)
                  THEN  RepUR  ``full-partition``  0
                  THEN  (RWO  "length-append"  0  THENA  Auto)
                  THEN  Reduce  0
                  THEN  Auto'))
  THEN  (Assert  x  \mmember{}  partition-choice(full-partition([left-endpoint(J),  u];q))  BY
                          (SubsumeC  \mkleeneopen{}\{f:\mBbbN{}||full-partition([left-endpoint(J),  u];q)||  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}| 
                                                  is-partition-choice(full-partition([left-endpoint(J),  u];q);f)\}  \mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  Try  ((BLemma  `partition-choice-subtype`  THEN  Auto))
                            THEN  MemTypeCD
                            THEN  Try  (QuickAuto)
                            THEN  RepUR  ``full-partition``  0
                            THEN  (RWO  "length-append"  0  THENA  Auto)
                            THEN  Reduce  0
                            THEN  Auto'))
  )

---

Home Index