---

Step * 1 3 1 1 1 of Lemma ratio-test


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. ∀n:ℕ. (|x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|))
6. ∀x:ℕ ⟶ ℝ. (Σn.x[n + N]↓ ⇒ Σn.x[n]↓)
⊢ Σn.c^n↓
BY
{ (InstLemma `geometric-series-converges-ext` [⌜c⌝]⋅ THENA Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. N : ℕ
3. c : {c:ℝ| (r0 ≤ c) ∧ (c < r1)} 
4. ∀n:{N...}. (|x[n + 1]| ≤ (c * |x[n]|))
5. ∀n:ℕ. (|x[N + n]| ≤ (c^n * |x[N]|))
6. ∀x:ℕ ⟶ ℝ. (Σn.x[n + N]↓ ⇒ Σn.x[n]↓)
7. Σn.c^n = (r1/r1 - c)
⊢ Σn.c^n↓

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  N  :  \mBbbN{}
3.  c  :  \{c:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1)\} 
4.  \mforall{}n:\{N...\}.  (|x[n  +  1]|  \mleq{}  (c  *  |x[n]|))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (|x[N  +  n]|  \mleq{}  (c\^{}n  *  |x[N]|))
6.  \mforall{}x:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.  (\mSigma{}n.x[n  +  N]\mdownarrow{}  {}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{})
\mvdash{}  \mSigma{}n.c\^{}n\mdownarrow{}


By

---

Latex:
(InstLemma  `geometric-series-converges-ext`  [\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index