---

Step * 2 1 1 1 2 2 of Lemma regularize-2-regular


1. f : ℤ ⟶ ℤ@i
2. n : ℕ+@i
3. m : ℕ+@i
4. ¬↑regular-upto(m;f)
5. ↑regular-upto(n;f)
6. v : ℕ@i
7. ¬↑regular-upto(v;f)@i
8. ∀[i:ℕ]. ¬¬↑regular-upto(i;f) supposing i < v@i
9. ¬(v = 1 ∈ ℤ)
10. ¬(v = 0 ∈ ℤ)
11. k : ℕ+@i
12. (v - 1) = k ∈ ℕ+@i
13. n ≤ k
14. |(k * (f n)) - n * (f k)| ≤ (2 * (n + k))
⊢ ((|m| * |(k * (f n)) - n * (f k)|) + (|n| * |k|)) ≤ (k * 4 * (n + m))
BY
{ ((RWO  "-1" 0 THENA Auto) THEN (RWO "absval_pos" 0 THENA Auto) THEN RW IntNormC 0 THEN Auto) }

1
1. f : ℤ ⟶ ℤ@i
2. n : ℕ+@i
3. m : ℕ+@i
4. ¬↑regular-upto(m;f)
5. ↑regular-upto(n;f)
6. v : ℕ@i
7. ¬↑regular-upto(v;f)@i
8. ∀[i:ℕ]. ¬¬↑regular-upto(i;f) supposing i < v@i
9. ¬(v = 1 ∈ ℤ)
10. ¬(v = 0 ∈ ℤ)
11. k : ℕ+@i
12. (v - 1) = k ∈ ℕ+@i
13. n ≤ k
14. |(k * (f n)) - n * (f k)| ≤ (2 * (n + k))
⊢ ((2 * k * m) + (k * n) + (2 * m * n)) ≤ ((4 * k * m) + (4 * k * n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
3.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
4.  \mneg{}\muparrow{}regular-upto(m;f)
5.  \muparrow{}regular-upto(n;f)
6.  v  :  \mBbbN{}@i
7.  \mneg{}\muparrow{}regular-upto(v;f)@i
8.  \mforall{}[i:\mBbbN{}].  \mneg{}\mneg{}\muparrow{}regular-upto(i;f)  supposing  i  <  v@i
9.  \mneg{}(v  =  1)
10.  \mneg{}(v  =  0)
11.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
12.  (v  -  1)  =  k@i
13.  n  \mleq{}  k
14.  |(k  *  (f  n))  -  n  *  (f  k)|  \mleq{}  (2  *  (n  +  k))
\mvdash{}  ((|m|  *  |(k  *  (f  n))  -  n  *  (f  k)|)  +  (|n|  *  |k|))  \mleq{}  (k  *  4  *  (n  +  m))


By

---

Latex:
((RWO    "-1"  0  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "absval\_pos"  0  THENA  Auto)  THEN  RW  IntNormC  0  THEN  Auto)

---

Home Index