---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma rmul-rinv1


1. x : ℝ
2. a : {2...}
3. mu-ge(λn.4 <z |x n|;1) = a ∈ {1...}
4. 4 < |x a|
5. ∀[i:ℕ+a]. (¬4 < |x i|)
6. ∀m:ℕ+. ((a ≤ m) ⇒ (m ≤ (a * |x m|)))
7. a * a ∈ ℕ
8. reg-seq-inv(reg-seq-adjust(a;x)) ∈ {f:ℕ+ ⟶ ℤ| 4 * ((4 * a * a) + 1)-regular-seq(f)} 
9. n : {a...}
10. ¬n < a
11. x n ≠ 0
⊢ |(((4 * n * n) ÷ x n) * (x n)) - ((4 * n * n) ÷ x n) * (x n) rem 2 * n - (2 * n) * 2 * n * 1| ≤ (|2 * n|
  * (canonical-bound(x) + 1))
BY
{ ((Subst ⌜((4 * n * n) ÷ x n) * (x n) ~ (x n) * ((4 * n * n) ÷ x n)⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "div_rem_sum2" 0⋅ THENA Auto)
   THEN (RW IntNormC 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "int-triangle-inequality" 0 THENA Auto))⋅ }

1
1. x : ℝ
2. a : {2...}
3. mu-ge(λn.4 <z |x n|;1) = a ∈ {1...}
4. 4 < |x a|
5. ∀[i:ℕ+a]. (¬4 < |x i|)
6. ∀m:ℕ+. ((a ≤ m) ⇒ (m ≤ (a * |x m|)))
7. a * a ∈ ℕ
8. reg-seq-inv(reg-seq-adjust(a;x)) ∈ {f:ℕ+ ⟶ ℤ| 4 * ((4 * a * a) + 1)-regular-seq(f)} 
9. n : {a...}
10. ¬n < a
11. x n ≠ 0
⊢ (|(-1) * ((4 * n * n) + ((-1) * (4 * n * n rem x n)) rem 2 * n)| + |(-1) * (4 * n * n rem x n)|) ≤ (|2 * n|
  + (|2 * n| * canonical-bound(x)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  a  :  \{2...\}
3.  mu-ge(\mlambda{}n.4  <z  |x  n|;1)  =  a
4.  4  <  |x  a|
5.  \mforall{}[i:\mBbbN{}\msupplus{}a].  (\mneg{}4  <  |x  i|)
6.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((a  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (m  \mleq{}  (a  *  |x  m|)))
7.  a  *  a  \mmember{}  \mBbbN{}
8.  reg-seq-inv(reg-seq-adjust(a;x))  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}|  4  *  ((4  *  a  *  a)  +  1)-regular-seq(f)\} 
9.  n  :  \{a...\}
10.  \mneg{}n  <  a
11.  x  n  \mneq{}  0
\mvdash{}  |(((4  *  n  *  n)  \mdiv{}  x  n)  *  (x  n))  -  ((4  *  n  *  n)  \mdiv{}  x  n)  *  (x  n)  rem  2  *  n  -  (2  *  n)  *  2  *  n  *  1| 
    \mleq{}  (|2  *  n|  *  (canonical-bound(x)  +  1))


By

---

Latex:
((Subst  \mkleeneopen{}((4  *  n  *  n)  \mdiv{}  x  n)  *  (x  n)  \msim{}  (x  n)  *  ((4  *  n  *  n)  \mdiv{}  x  n)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "div\_rem\_sum2"  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RW  IntNormC  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "int-triangle-inequality"  0  THENA  Auto))\mcdot{}

---

Home Index