---

Step * 1 1 1 1 of Lemma sine-poly-approx


1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(2))} 
2. k : ℕ
3. N : ℕ+
4. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k} - (r(sine-approx(x;k;N))/r(2 * N))| ≤ (r1/r(N))
5. |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}| ≤ (|x|^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!))
6. x < r0
7. |x| = -(x)
⊢ -(sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k})
= (sine(-(x)) - Σ{-1^i * (-(x)^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k})
BY
{ ((RWO  "sine-rminus" 0 THENA Auto)
   THEN (nRAdd ⌜sine(x)⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "rsum-rminus<" 0 THENA Auto)
   THEN BLemma  `rsum_functionality`
   THEN Auto
   THEN D 0
   THEN Auto) }

1
1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(2))} 
2. k : ℕ
3. N : ℕ+
4. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k} - (r(sine-approx(x;k;N))/r(2 * N))| ≤ (r1/r(N))
5. |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}| ≤ (|x|^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!))
6. x < r0
7. |x| = -(x)
8. i : ℤ
9. 0 ≤ i
10. i ≤ k
⊢ -1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! = -(-1^i * (-(x)^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)!)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  (r1/r(2))\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  |\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  -  (r(sine-approx(x;k;N))/r(2  *  N))|  \mleq{}  (r1/r(N))
5.  |sine(|x|)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (|x|\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}|  \mleq{}  (|x|\^{}(2  *  k)  +  3/r(((2  *  k)
+  3)!))
6.  x  <  r0
7.  |x|  =  -(x)
\mvdash{}  -(sine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\})
=  (sine(-(x))  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (-(x)\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\})


By

---

Latex:
((RWO    "sine-rminus"  0  THENA  Auto)
  THEN  (nRAdd  \mkleeneopen{}sine(x)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "rsum-rminus<"  0  THENA  Auto)
  THEN  BLemma    `rsum\_functionality`
  THEN  Auto
  THEN  D  0
  THEN  Auto)

---

Home Index