---

Step * 3 1 2 of Lemma b-almost-full-intersection


1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. s : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ∀m:ℕ
     (strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n)
     ⇒ ⇃(∀s@0:StrictInc
            ∃n@0:ℕ
             (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];(n + 1) + 1;s.m@n.s@0 n@0@n + 1)
             ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m])))))
8. ⇃(∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;s.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
       ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;s.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
⊢ ⇃(∀s@0:StrictInc
      ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 1;s.s@0 n@0@n) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
BY
{ TACTIC:(Thin (-2)
          THEN (InstLemma  `Ramsey-n-3` [⌜n⌝]⋅ THENA Auto)
          THEN BLemma `all-quotient-true`
          THEN Auto
          THEN RenameVar `gamma' (-1)
          THEN ExRepD
          THEN RenameTo `a' `s') }

1
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ⇃(∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
       ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
8. N : ℕ+
9. g1 : ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕn. ∃i,j,k:ℕN. (i < j ∧ j < k ∧ ((g i j) = (g i k) ∈ ℤ) ∧ ((g i k) = (g j k) ∈ ℤ))
⊢ ⇃(canonicalizable(StrictInc))

2
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ⇃(∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
       ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
8. N : ℕ+
9. ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕn. ∃i,j,k:ℕN. (i < j ∧ j < k ∧ ((g i j) = (g i k) ∈ ℤ) ∧ ((g i k) = (g j k) ∈ ℤ))
10. gamma : StrictInc
⊢ ⇃(∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 1;a.gamma n@0@n) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  R  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  T  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  b-almost-full(n,m.R[n;m])
4.  b-almost-full(n,m.T[n;m])
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  s  :  \{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\} 
7.  \mforall{}m:\mBbbN{}
          (strictly-increasing-seq(n  +  1;s.m@n)
          {}\mRightarrow{}  \00D9(\mforall{}s@0:StrictInc
                        \mexists{}n@0:\mBbbN{}
                          (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];(n  +  1)  +  1;s.m@n.s@0  n@0@n  +  1)
                          \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m])))))
8.  \00D9(\mforall{}m:\{m:\mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n  +  1;s.m@n)\}  .  \mforall{}s@0:StrictInc.
              \mexists{}n@0:\mBbbN{}
                (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  2;s.m@n.s@0  n@0@n  +  1)
                \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m]))))
\mvdash{}  \00D9(\mforall{}s@0:StrictInc
            \mexists{}n@0:\mBbbN{}
              (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  1;s.s@0  n@0@n)
              \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m]))))


By

---

Latex:
TACTIC:(Thin  (-2)
                THEN  (InstLemma    `Ramsey-n-3`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  BLemma  `all-quotient-true`
                THEN  Auto
                THEN  RenameVar  `gamma'  (-1)
                THEN  ExRepD
                THEN  RenameTo  `a'  `s')

---

Home Index