---

Step * 3 1 2 2 2 1 1 1 1 of Lemma b-almost-full-intersection


1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
     ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m])))
8. gamma : StrictInc
9. N : ℕ+
10. ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕn. ∃i,j,k:ℕN. (i < j ∧ j < k ∧ ((g i j) = (g i k) ∈ ℤ) ∧ ((g i k) = (g j k) ∈ ℤ))
11. s : ℕN ⟶ ℕ
12. h : ∀i:ℕN. ∀j:{i + 1..N-}.
          (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
          ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m])))
13. ∃i:ℕN. ∃j:{i + 1..N-}. (↑isr(h i j))
⊢ ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 1;a.gamma n@0@n) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m])))
BY
{ TACTIC:((D 0 With ⌜0⌝  THENA Auto) THEN (OrRight THENA Auto) THEN ExRepD) }

1
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
     ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m])))
8. gamma : StrictInc
9. N : ℕ+
10. ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕn. ∃i,j,k:ℕN. (i < j ∧ j < k ∧ ((g i j) = (g i k) ∈ ℤ) ∧ ((g i k) = (g j k) ∈ ℤ))
11. s : ℕN ⟶ ℕ
12. h : ∀i:ℕN. ∀j:{i + 1..N-}.
          (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
          ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m])))
13. i : ℕN
14. j : {i + 1..N-}
15. ↑isr(h i j)
⊢ ∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m])

---

Latex:

---

Latex:

1.  R  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  T  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  b-almost-full(n,m.R[n;m])
4.  b-almost-full(n,m.T[n;m])
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  a  :  \{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\} 
7.  \mforall{}m:\{m:\mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n  +  1;a.m@n)\}  .  \mforall{}s@0:StrictInc.
          \mexists{}n@0:\mBbbN{}
            (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  2;a.m@n.s@0  n@0@n  +  1)
            \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m])))
8.  gamma  :  StrictInc
9.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n.  \mexists{}i,j,k:\mBbbN{}N.  (i  <  j  \mwedge{}  j  <  k  \mwedge{}  ((g  i  j)  =  (g  i  k))  \mwedge{}  ((g  i  k)  =  (g  j  k)))
11.  s  :  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
12.  h  :  \mforall{}i:\mBbbN{}N.  \mforall{}j:\{i  +  1..N\msupminus{}\}.
                    (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  2;a.gamma  (s  i)@n.gamma  (s  j)@n  +  1)
                    \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m])))
13.  \mexists{}i:\mBbbN{}N.  \mexists{}j:\{i  +  1..N\msupminus{}\}.  (\muparrow{}isr(h  i  j))
\mvdash{}  \mexists{}n@0:\mBbbN{}
      (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  1;a.gamma  n@0@n)  \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m])))


By

---

Latex:
TACTIC:((D  0  With  \mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  (OrRight  THENA  Auto)  THEN  ExRepD)

---

Home Index