---

Step * 1 1 2 of Lemma basic-implies-strong-continuity2


1. [T] : Type
2. [F] : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
4. [%2] : ∀f:ℕ ⟶ T
            ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
            ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
            ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
⊢ ∀f:ℕ ⟶ T
    ((↓∃n:ℕ. (((λn,f. case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ ) n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))
    ∧ (∀n:ℕ
         ((λn,f. case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ ) n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) 
         supposing ↑isl((λn,f. case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ ) n f)))
BY
{ Reduce 0 }

1
1. [T] : Type
2. [F] : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
4. [%2] : ∀f:ℕ ⟶ T
            ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
            ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
            ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
⊢ ∀f:ℕ ⟶ T
    ((↓∃n:ℕ. (case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))
    ∧ (∀n:ℕ
         case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) 
         supposing ↑isl(case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ )))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [F]  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  \mcup{}  (\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{}))
4.  [\%2]  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
                        ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (F  f)))
                        \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (F  f)  supposing  M  n  f  is  an  integer)
                        \mwedge{}  (\mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  M  n  f  is  an  integer  {}\mRightarrow{}  M  m  f  is  an  integer)))
\mvdash{}  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
        ((\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  (((\mlambda{}n,f.  case  int?(M  n  f)  of  inl(x)  =>  inl  x  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  )  n  f)  =  (inl  (F  f))))
        \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}
                  ((\mlambda{}n,f.  case  int?(M  n  f)  of  inl(x)  =>  inl  x  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  )  n  f)  =  (inl  (F  f)) 
                  supposing  \muparrow{}isl((\mlambda{}n,f.  case  int?(M  n  f)  of  inl(x)  =>  inl  x  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  )  n  f)))


By

---

Latex:
Reduce  0

---

Home Index